¿Es denso en $x_n(t) = t^n$ $n\ge 1$ $L^1[0,1]$?

Question

Mi pregunta se refiere a lo siguiente problema

Deje $x_n(t) = t^n$$n\ge 1$. Es $\mathrm{span}(x_n; n\ge 1)$ denso en $L^1([0,1])$?

Por Weierstrass' teorema de aproximación, es suficiente para comprobar si la función constante $1$ está contenida en el $L^1$-cierre de la lineal útil de la $x_n$.

Creo que este no es el caso, pero no he encontrado una prueba tan lejos.

Algunas observaciones sencillas: yo sé que si $1$ está contenida en el $L^1$-cierre, entonces podemos encontrar una secuencia de polinomios $p_n\in \mathrm{span}(x_n; n\ge 1)$ tal que $p_n\to 1$$L^1$, casi en todas partes y casi de manera uniforme. Además, la secuencia de $q_n(x) = \int_0^x p_n(t) \, dt$ convergen uniformemente a$x$$[0,1]$.

No veo cómo esto ayuda, sin embargo.

Answer 1

Esto es una escritura de la solución basada en la t.b.'s buena idea en los comentarios:

Reclamo: Vamos A $x_n(t) = t^n$. A continuación, $\mathrm{span}(x_n; n\ge 1)$ es densa como un subespacio de $L^1([0,1])$.

Prueba: Por la monotonía de la convergencia, la secuencia de $x^{1/m}$ converge a$1$$L^1([0,1])$. Por lo tanto, es suficiente para comprobar que el $x^{1/m} \in \overline{\mathrm{span}(x_n; n\ge 1)}$ todos los $m\in \mathbb N$.

Esto último se deduce del hecho de que la secuencia de los polinomios de Bernstein

$$B_k(x) = \sum_{i=0}^k \binom ki \left(\frac{i}{k}\right)^{1/m}x^i (1-x)^{k-i}$$

converge a $x^{1/m}$ de manera uniforme, y está contenida en $\mathrm{span}(x_n; n\ge 1)$ (el término constante donde $i=0$ desaparece). $\square$

Answer 2

Puede eliminar cualquier colección finita de términos de la serie de monomios $(t^n)$ ($n=0,1,2,3,\dots$) y el palmo linear resultante es todavía denso en $C([0,1]$ (y así en el correspondiente $L^1$-espacio). Esto es una consecuencia de un resultado profundo---el teorema de Muentz---uno de los resultados centrales de la teoría de la aproximación. Usted puede encontrar fácilmente información y la formulación precisa (que permite quitar conjuntos infinitos adecuados de índices) en Wikipedia.

Answer 3

Aproximación $1$ por polinomios sin término constante es esencialmente lo mismo que aproximar $1/x$ de polinomios arbitrarios.

Por supuesto hay un giro en que $1/x$ no es continuo en $[0,1]$, pero tomar $P(x)$ % aproximado $\min\{1/x,M\}$para algunos grandes $M$ a $\epsilon$ (norma sup).

Entonces $|xP(x)-1| < \epsilon$ % todo $x > 1/M$y $x < 1/M$ tenemos $0 < P(x) < 2M$ (suponiendo que $\epsilon$ es razonable) así $|xP(x)-1| \le 1$. Limita la diferencia de $L^1$ $\epsilon + 1/M$, que podemos enviar a $0$.