Subir teorema (pregunta)

Question

Si $S \subset R$ son anillos conmutativos con $1$ $R$ es una parte integral de extensión de $S$ entonces tienen la misma dimensión. Básicamente la prueba de los usos de la ir hasta teorema.

Pero tengo una pregunta acerca de una parte de la prueba:

Deje $P_{0} \subset P_{1} \subset P_{2}$ ... ser ascendente de la cadena de primer ideales de $S$. A continuación, por el que va hasta teorema, podemos encontrar $T_{i} \in Spec(R)$ tal que $T_{i} \cap S = P_{i}$.

Pregunta: ¿cómo sabemos que también se $T_{0} \subset T_{1} \subset ....$? I. e, ¿por qué son inclusiones en conserva? Todo lo que sabemos es que el$T_{i} \cap S \subset T_{j} \cap S$, ¿sí? ¿Por qué tenemos $T_{0} \subset T_{1} \subset...$ ?

Answer 1

Profesor Emerton ha respondido a su pregunta, pero quería añadir aquí (puesto que yo no puedo comentar) que el resultado que usted desee a menudo se llama "ir arriba".

Answer 2

Se debe argumentar inductivamente. Es decir, primero elija $T_0$ mentira $P_0$. Ahora consideremos la extensión integral $S/P_0 \hookrightarrow R/T_0$. Aplicar la mentira sobre Teorema del ideal principal $P_1/P_0$ $S/P_0$, para obtener un ideal principal de $R/T_0$ mentira $P_1/P_0$; Este primer ideal es del formulario $T_1/T_0$, ideal primer $T_1$ $R$ que se encuentra en $P_1$ y contiene $T_0$. Ahora continúe de la misma manera, aplicando miente sobre el % ideal principal $P_2/P_1$en el % de ampliación $S/P_1 \hookrightarrow R/T_1$y así sucesivamente.