Coordenadas polares---Ecuación de una línea

Question

Hola, ¿alguien sabe cómo abordar esta cuestión? He intentado utilizar la fórmula r = d * sec (alfa de la theta) pero yo no estoy seguro de lo que cada una de las variables son iguales. Si alguien puede ofrecer alguna ayuda, sería apreciado grandemente!

Answer 1

Deje que la ecuación de la línea de $L$ $y = mx + c$ donde$x = r\cos\theta$$y = r\sin\theta$. En coordenadas polares $$ r\sin\theta = rm\cos\theta + c $$ o $$ r = \frac{c}{\sin\theta - m\cos\theta}\,. $$

Debido a que el radio del círculo es$\sqrt{170}$, y la distancia del punto de tangencia $P = (-11,-7)$ hasta el punto de $O = (0,0)$$\sqrt{170}$, el origen del sistema de coordenadas y el centro del círculo coinciden.

El vector de$P$$O$$v_p = (11,7)$.

Considere dos puntos en la línea $L$; $L_1 = (x_1,0)$ y $L_2 = (0, y_1)$. Entonces el vector de $P$ $L_1$ $v_1 = L_1 - P = (x_1+11, 7)$y el vector de$p$$L_2$$v_2 = L_2 - P = (11, y_1+7)$.

Vectores $v_1$ $v_2$ son perpendiculares a $v_p$. Por lo tanto, $$ 0 = v_1\cdot v_p = v_2\cdot v_p $$ y tenemos $$ 11(x_1+11) + 49 = 0 \,,\quad 121 + 7(y_1+7) = 0\,. $$ A partir de estos nos encontramos con que $x_1 = 170/11$$y_1 = 170/7$. Conectar estas en la ecuación de la línea $L$ nos da dos ecuaciones $$ 0 = \frac{170}{11}\,m + c \,,\quad \frac{170}{7} = c \,. $$ Por lo tanto $$ m = -\frac{11}{7} \,,\quad c = \frac{170}{7} \,. $$ Ahora podemos utilizar estos para obtener la ecuación polar de la recta: $$ r = \frac{170}{7\sin\theta + 11\cos\theta}\,. $$