Si $ab \neq ba$ demuestre que $aba \neq e$

Question

Si $a$ y $b$ son elementos de grupo y $ab \neq ba$ demuestre que $aba \neq e$ donde $e$ es la identidad.

Este es un ejercicio de Álgebra Abstracta Contemporánea. Proporciono aquí mi respuesta.

Answer 1

O más sencillamente:

$aba=e\Rightarrow ab=a^{-1}$ (multiplicando por $a^{-1}$ a la derecha) y también $aba=e\Rightarrow ba=a^{-1}$ (multiplicando por $a^{-1}$ a la izquierda). Así que $ab=ba$ .

Answer 2

Supongamos que $aba = e$ . Entonces $ab = a^{-1}$ . Tenemos $$baa^{-1} = b \implies baab = b \implies baa = e \implies aba = baa \implies ab = ba $$ Contradicción.

Answer 3

Si $aba=e$ y multiplicar por la izquierda y multiplicar por la derecha $a^{-1}$ para ver que $b=a^{-2}$ . Así que $a$ conmuta con $b$ porque $b$ es una potencia de $a$ . Así que $aba=e\implies ab=ba$ y, por lo tanto $ab\neq ba\implies aba\neq e$ .