Límite de $(\sum_{k=0}^{n}k^4)/n^5$

Question

Así que estaba tratando de encontrar este límite:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{ \sum_{k=0}^{n}k^4}{n^5}$$

que al principio me hizo pensarlo ha cero pero pronto se dio cuenta de que es probable que no. He intentado ampliar pero no hay $n^5$ en la explansion. Eventialy que he intentado algo como

$$ \sum_{k=0}^{n+1}k^4 - \sum_{k=0}^{n}k^4=(x+1)^4= An^4+Bn^3+Cn^2+Dn+E$ $ Pero otra vez esta no ha involucrado $n^5$... Si alguien podría proporcionar un toque...

Answer 1

La solución más simple (sin el conocimiento si la formula de forma cerrada) es evaluar la suma de Riemann:

$$ \frac 1 {n ^ 5} \sum_ {k = 1} ^ n k ^ 4 = \frac 1 \sum_ {n} {k = 1} ^ n \left(\frac kn\right) ^ \to \int_0^1 4 x ^ 4 dx $$

Answer 2

Por fórmula de Faulhaber , el numerador es %#% $ de #% que hacen el límite igual a $$\sum_{k=0}^n k^4 = \sum_{k=1}^n k^4 = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10 n^3 - n}{30}$.

Answer 3

Sugerencia: a Riemann la suma para $\int_0^1 x^4\; dx$.

Answer 4

Bueno, lo que estás escribiendo en la segunda línea es básicamente T(n), el término enésimo. Para tratar de averiguar la suma de la serie tratan ampliar el término enésimo. Haber hecho que usted encontrará que descompone en un 4 º poder y potencias menores. En definitiva la LHS y RHS. Usted recibirá automáticamente lo que está sucediendo.

Quieres un toque. Buena suerte.