¿Cuál es el mínimo de $\int_0^1 f(x)^2 \: dx$ , con la condición de que $\int_0^1 f(x) \: dx = 0, \int_0^1 x f(x) \: dx = 1$ ?

Question

La pregunta es como en el título: ¿cuál es el mínimo de $\int_0^1 f(x)^2 \: dx$ , con la condición de que $\int_0^1 f(x) \: dx = 0, \int_0^1 x f(x) \: dx = 1$ ? (Suponiendo condiciones de suavidad adecuadas).

Un problema en el libro de texto del curso que estoy ENSEÑANDO (no tomando) se reduce a minimizar $w_1^2 + w_2^2 + w_3^2$ con sujeción a $w_1 + w_2 + w_3 = 0, w_1 + 2w_2 + 3w_3 = 1$ . Por supuesto no hay nada especial en el número $3$ aquí, por lo que se puede pedir el mínimo de $\sum_{i=1}^n w_i^2$ con sujeción a $\sum_{i=1}^n w_i = 0, \sum_{i=1}^n iw_i = 1$ . Al menos cuando $n = 3, 4, 5$ obtenemos $w_i = c_n(i-(n+1)/2)$ para alguna constante $c_n$ que depende de $n$ . Por lo tanto, para los fijos $n$ , $w_i$ es una función lineal de $i$ . (Este es un cálculo un poco molesto, así que no lo reproduciré aquí).

Así que parece que debería haber una analogía continua de esto. Si tenemos $$ \int_0^1 f(x) \: dx = 0, \int_0^1 x f(x) \: dx = 1 $$ y $f(x)$ es lineal, entonces obtenemos $f(x) = 12(x-1/2)$ y $\int_0^1 f(x)^2 \: dx = 12$ . ¿Es ésta la función que satisface estas condiciones integrales con el menor $\int_0^1 f(x)^2 \: dx$ ? Es decir, ¿es el caso de que $$ \int_0^1 f(x)^2 \: dx \ge 12 $$ por cada $f(x)$ que satisface las dos condiciones anteriores y cualquier condición de suavidad que sea necesaria?

He etiquetado este cálculo de variaciones porque es lo que me parece. Pero no conozco el cálculo de variaciones, por lo que no puedo resolver el problema por mí mismo.

Answer 1

Las integrales anteriores pueden interpretarse utilizando la $L^2$ producto interior $$ \langle f,g\rangle \;=\; \int_0^1 f(x)\,g(x)\,dx. $$ En concreto, se nos da que $\langle 1,f\rangle = 0$ y $\langle x,f\rangle =1 $ y se nos pide que encontremos el mínimo valor posible de $\langle f,f\rangle$ .

Dado que los componentes de $f$ ortogonal a ambos $1$ y $x$ sólo aumentará la norma de $f$ la función que se minimiza debe estar en el subespacio abarcado por $1$ y $x$ . Un simple cálculo muestra que el mínimo se obtiene cuando $f(x) = 12x - 6$ , en cuyo caso $\langle f,f\rangle = 12$ .

Answer 2

Sí, es cierto.

Consideremos el espacio de Hilbert $L^2([0,1])$ de funciones cuadradas integrables $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ con el producto interno $\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\,dx$ . Dejar $V$ sea un subespacio bidimensional generado por $u(x)=1$ y $v(x)=x$ entonces la función $g(x)=12(x-1/2)$ está en $V$ y satisface $\langle g,u\rangle=0$ y $\langle g,v\rangle=1$ . Por lo tanto, su pregunta equivale a elegir $f$ para minimizar $\langle f,f\rangle$ con sujeción a $\langle f,h\rangle=\langle g,h\rangle$ para todos $h\in V$ . Esta condición sólo dice que $g$ es la proyección ortogonal de $f$ en $V$ .

Por lo tanto, cualquier $f\in L^2$ que satisface la condición puede escribirse como $$ f = g + h $$ donde $h$ está en el complemento ortogonal de $V$ y, por lo tanto, $$ \langle f,f\rangle = \langle g,g\rangle+\langle h,h\rangle\ge \langle g,g\rangle=12 $$ con igualdad si y sólo si $f=g$ casi en todas partes.

Answer 3

Viendo las muy bonitas soluciones usando álgebra lineal que se han publicado, vuelvo a recordar que el cálculo de variaciones es un martillo más grande y menos elegante que el necesario para la mayoría de los clavos. Por si sirve de algo, he aquí cómo se podría resolver este problema con el cálculo de variaciones. José Figueroa-O'Farrill tiene unas buenas notas que cubren esto: http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Enseñanza/Lecciones/CoV.pdf

Como tenemos dos restricciones, introducimos dos multiplicadores de Lagrange $\lambda$ y $\mu$ e intentar extremar la funcionalidad $$S[f] = \int_0^1 \big( f(x)^2 + \lambda f(x) + \mu x f(x) \big) dx.$$ Denotemos el integrando por $$L\big(x,f(x),f'(x)\big) = f(x)^2 + \lambda f(x) + \mu x f(x).$$

La función $f$ que es un punto estacionario del funcional $S[f]$ satisface la correspondiente Ecuación de Euler-Lagrange , $$\frac{\partial L}{\partial f} = \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}$$ que en este caso se reduce a $$2f(x) + \lambda + \mu x = 0.$$ Así, vemos que el extremo $f(x)$ es efectivamente lineal, y los valores de $\lambda$ y $\mu$ puede obtenerse a partir de las restricciones $\int_0^1 f(x) dx = 0$ y $\int_0^1 xf(x) dx = 1$ .