Si una propiedad en $\mathbb{N}$ es cierto hasta $10^{47}$ hay motivos para pensar que es probablemente cierto en todos los $\mathbb{N}$?

Question

Usted probablemente ha oído hablar en algún momento de las declaraciones como que el gemelo primer conjetura (es decir, que $2$ es infinitamente ocurring primer gap) es "probablemente" o "casi seguro" es cierto. Lo mismo va para un número de otros problemas en la teoría de números la afirmación de las propiedades que creemos que son satisfechos por todos los números naturales. Un argumento que parece ceder terreno a tales creencias es la observación de que dijo conjetura tiene hasta un cierto gran número.

Mi pregunta sería si hay algún argumento sólido para pensar que una conjetura es "probablemente" es cierto, dado que sabemos que es cierto para un número grande (tan grande como se quiera, pero fijo).

La respuesta inicial parece ser que no, y todavía el pensamiento es tan inevitable me pregunto si alguien ha pensado en un argumento para justificarlo.

EDIT: no tome la pregunta rigurously. Yo estaba buscando una amplia tomar en el presente. Piense por ejemplo en el caso de los gemelos de primer conjetura. Por supuesto, sé que hay propiedades satisfechas por los números sólo por encima de un número dado (por ejemplo, la propiedad de ser mayor que dicho número). Ser imaginativo. Dime resultados o argumentos que usted piensa que podría estar relacionado. Ser positivo (o negativo, en un sin sentido trivial). Háblame de conjeturas que, mientras no saber si la tienen, esta línea de pensamiento es de alguna manera justificada y por qué.

EDICIÓN de $2$: en Caso de que esta pregunta iba a aplicar. Digamos que una conjetura alguna de las propiedades de los números naturales. Sobre el tamaño de un mínimo posible contraejemplo no somos capaces de encontrar cualquier cosa, además de que debe ser mayor que $10^{47}$. En este punto el pensamiento de que podría llegar a nuestras mentes que la conjetura es "probablemente" es cierto. Ahora, ¿hay algún argumento convincente que justifique este pensamiento?

Answer 1

No.

De hecho, la mayoría de los enteros positivos son mayores que los de $10^{47}$. Un ejemplo de una propiedad que es cierto para los números enteros por debajo de $10^{47}$, pero no es cierto para los números enteros mayores que $10^{47}$ es más pequeño que $10^{47}$.

Una más apto, pero común ejemplo puede encontrarse en la teoría de números. El número de números primos hasta el $x$ se denota por a $\pi(x)$, y que se suele aproximar por la logarítmica integral $$\text{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t}dt$$ Asymptotically, they are equal. It was believed for a long time that $\pi(n) < \text{Li}(n)$ for all $n$ (both Gauss and Riemann conjectured this). But it is not true. The first counterexample is thought to be somewhere around $10^{300}$.

Answer 2

Creo que todo ser demasiado pesimista. Si alguien me entregó una declaración de $P(n), n \in \mathbb{N}$ sobre números naturales y, a continuación, me mostró que $P(1)$ era cierto, $P(2)$ era cierto, $P(3)$ era verdad, etc. Creo que para la "típica" $P$ me gustaría estar convencidos de que $P(n)$, fue el verdadero camino antes de $n = 10^{47}$. Quiero decir, nunca he visto a $10^{47}$ piezas de evidencia para nada creo. Sólo he visto la salida del sol sobre $10^4$ veces y estoy totalmente de creer que el aumento es una cosa que el sol va a seguir haciendo.

Aquí hay algo que tengo en mente para un "típico" del ejemplo. Dejando $F_n$ el valor del $n^{th}$ número Fibonacci (con $F_0 = 0, F_1 = 1$), tenemos

$$F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n.$$

O, bueno, tal vez no. Usted puede no saber cómo probar esto, pero se puede comprobar que para muchos de los valores de $n$ como te gusta. Cómo muchos de los valores de $n$ ¿crees que tomaría antes de que usted estaría dispuesto a apostar que esto es cierto con probabilidad, digamos, el 99%? Creo que para mí, yo estaría convencido de que después de algo como $10$ ejemplos, digamos $10^{47}$.

Por supuesto que hay una diferencia importante entre la creencia de que algo es probablemente cierto, y tener una prueba de ello, pero hay una razón matemáticos hablar de conjeturas y no sólo se trata de teoremas: es con frecuencia posible para convencernos de que un enunciado matemático es verdadero sin ser capaz de probarlo, a ver que es cierto en un montón de ejemplos es una forma obvia de que esto pudiera suceder, y matemáticos de hacer este tipo de razonamiento, todo el tiempo.

Answer 3

En algunas situaciones, usted puede razonablemente asignar un "heurística de la probabilidad" a algunas de las declaraciones. Véase, por ejemplo, Terry Tao en el blog de "La probabilística de la heurística de la justificación de la conjetura ABC". Si tales heurística de los cálculos indican que la probabilidad de un ejemplo con $n \ge N$ es muy pequeña, y cada una de las $n < N$ ha sido comprobado, sin encontrar un ejemplo, se puede tomar como una fuerte evidencia de que no hay ejemplo.

Por otro lado, hay casos como el de la Pared-Sol-Sol de los números primos. El heurística de los cálculos indican que no debe ser infinitamente muchos, pero deben ser muy raros. Aunque ninguno se ha encontrado (por $n$ $2.8 \times 10^{16}$ en el último informe), yo no apostaría en contra de la heurística.

Answer 4

Bien, he aquí un hecho relevante:

Deje $P(n)$ ser una afirmación de que existe una máquina de Turing que se va a detener y devolver false exactamente al $P(n)$ es falso. Existe alguna $m$, dependiendo de la "complejidad" de la máquina de Turing, que si $P$ que es la verdad de $1$$m$, entonces es cierto para todos los $n$.

Ahora, esta $m$ es básicamente una busy beaver número. El problema con esta verdad es triple: en primer lugar, $m$ es extraordinariamente grande (desde el más bajo de los límites no son difíciles de probar). En segundo lugar, ninguna teoría dada puede poner límites superiores en la $m$ lo suficientemente complejas máquinas de Turing (ya que podría resolver la paralización de problema). Por último, no todas las sentencias $P$ son como este, por ejemplo, no es evidente cómo se podría comprobar si, en la conjetura de Collatz, un determinado $n$ finalmente se recorre a $1$. Usted puede comprobar si se entra en un ciclo, pero si se aleja, usted puede mantener la iteración para siempre y nunca se sabe el destino final de la serie.

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Como se señaló en Robert Israel's comentarios, podemos hacer el mismo razonamiento para las declaraciones de $P$ en general; que es:

Deje $P(n)$ ser una declaración. Entonces, dependiendo de la "complejidad" de la misma, si es verdad para todos los $1$ $m$es cierto para todos los $n$.

Donde su noción de "complejidad" debe tener de que sólo un número finito de enunciados son de cualquier complejidad (por lo tanto, el número de caracteres necesarios para expresarlo en algunos alfabeto finito obras). A continuación, cada declaración falsa $P$ tiene un mínimo de $m$ para lo cual es falso. Tomando el máximo de todas estas mínimas $m$ sobre el conjunto de declaraciones con contraejemplos los rendimientos por encima de la verdad. Sin embargo, el panorama aquí es aún más sombrío: esta $m$ crece al menos tan rápido como la última. No pudimos probar (por no hablar de calcular) todos los límites superiores para $m$ antes, por lo que la situación ahora es aún peor.

Answer 5

No hay ningún motivo real para que la cosa esta. Por ejemplo, aquí hay una propiedad que es verdadera para todos los números hasta el $10^{50}$:

Todos los números hasta el $10^{50}$ son menores de $10^{51}.$

O, si quieres algo más elegante,

Todos los compuestos de los números menores que $10^{50}$ tiene un divisor primo que es menor que $10^{25}$.

Usted puede pensar en una infinidad de propiedades que va a ser verdad "hasta" cualquier número, pero eso no quiere decir que sean verdad en general.