¿Existen estas secuencias?

Question

Deseo saber si hay secuencias reales $(a_k)$ , $(b_k)$ (y si las hay, cómo construir tales secuencias) tales que:

$b_k<0$ para cada $k \in \mathbb{N}$ con $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} b_k=-\infty,$

$$\sum_{k=1}^\infty |a_k| |b_k|^n< \infty, \space\forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$

$$\sum_{k=1}^\infty a_k b_k^n=1, \space \forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$

Answer 1

Para cualquier secuencia no limitada $(b_k)$ y cualquier secuencia $(\lambda_n)$ se puede encontrar una secuencia $(a_k)$ tal que para cualquier $n$ , $\sum_{k=1}^\infty a_k b_k^n$ converge absolutamente a $\lambda_n$ :

Suponga que ha construido $a_k$ hasta algún índice $k_0$ , tal que para todo $m < n$ , $\sum_{k=1}^{k_0} a_k b_k^m = \lambda_m$ . El objetivo ahora es ampliarlo hasta algún índice $k_1$ tal que para todo $m \le n$ , $\sum_{k=1}^{k_1} a_k b_k^m = \lambda_m$ con "coeficientes arbitrariamente pequeños".

Esto significa que tenemos que añadir $y = \lambda_n - \sum_{k=1}^{k_0} a_k b_k^n$ a la suma parcial de los $n$ serie, y $0$ a la primera $n-1$ serie. Para ello, mira la siguiente $n-1$ distingue los valores de $b_k$ (para $k > k_0$ ), dicen que son $c_1,c_2, \ldots c_{n-1}$ , mira la matriz de Vandermonde

$$ M(X) = \begin{pmatrix} c_1^1 & \ldots & c_{n-1}^1 & X^1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_1^n & \ldots & c_{n-1}^n & X^n \end{pmatrix}$$

y resolver el vector $A(X)$ en la ecuación $M(X) A(X) = (0,0,\ldots,0,y)$ . Conseguimos que $A(X)$ tiene que ser $y$ veces el $n$ columna de $M(X)^{-1}$ . Así, $A(X)$ es $y/det(M(X))$ veces la transposición del $n$ fila de la comatriz de $M(X)$ . Si se observa con atención esta fila, cada entrada es un polinomio en $X$ de grado $n-1$ excepto la última, que es una constante. Además, el determinante de $M(X)$ es de grado $n$ por lo que las entradas del vector $A(X)$ son fracciones racionales de grado $-1$ y $-n$ .

En particular, para $X$ lo suficientemente grande, $\sum_{1 \le i,j \le n-1} |A_i(X)c_i^j| < 2^{-n}$ Por lo tanto, si elige $k_1$ tal que $b_{k_1}$ es lo suficientemente grande, obtendrá de $A(b_{k_1})$ los coeficientes a poner delante de $c_1^n, c_2^n, \ldots, c_{n-1}^n, b_{k_1}^n$ tal que todas las sumas parciales son lo que queremos, y la contribución absoluta a lo que hemos añadido a cada suma parcial es menor que $2^{-n-1}$ .

Ahora, repita este procedimiento para todos los $n$ y se obtiene una secuencia adecuada $(a_k)$ .

Answer 2

Dejemos que $(b_n)$ sea cualquier secuencia negativa que diverja a $-\infty$ y supongamos una secuencia de este tipo $(a_k)$ existe.

Dejemos que $K \in \mathbb{N}$ sea tal que $b_k < -2$ para todos $k \ge K$ . Entonces

$$\sum_{k=1}^{\infty} \left| a_k \right| \left| b_k \right|^n \ge \sum_{k=K}^{\infty} \left| a_k \right| \cdot 2^n = 2^n \sum_{k=K}^{\infty} \left| a_k \right|$$

Así que para todos $k \ge K$ requerimos $a_k = 0$ . Así que entonces

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_kb_k^n = \sum_{k=1}^{K-1}a_kb_k^n = 1$$

Y así para todos $n \in \mathbb{N}$ tenemos

$$\sum_{k=1}^{K-1} a_k(b_k^n - b_k^{n-1}) = 0$$

Así que en $\mathbb{R}^{K-1}$ el vector $(a_k)_1^{K-1}$ es linealmente independiente de los vectores $(b_k^{n-1}(b_k - 1))_1^{K-1}$ para cada $n \in \mathbb{N}$ . Desde $b_k \ne 1$ y $(a_k) \ne 0$ esto debe significar que el $(b_k^{n-1}(b_k-1))$ todos se encuentran en el $(K-2)$ -hiperplano ortogonal a $(a_k)$ . Pero a menos que cada $b_k=-1$ , estos abarcan un $(K-1)$ -(es decir, todo el subespacio de $\mathbb{R}^{K-1}$ ), por lo que debemos tener $b_k=-1$ para cada $k$ . Por lo tanto,

$$\sum_{k=1}^{K-1} (-1)^na_k = 1$$

para todos $n \in \mathbb{N}$ . Esto es una contradicción (multiplicar por $-1$ ).

Answer 3

Dejemos que $(b_n)$ sea una secuencia negativa que diverge a $-\infty$ y supongamos una secuencia de este tipo $(a_k)$ existe.

Dejemos que $K \in \mathbb{N}$ sea tal que $(b_k) < -2$ para todos $k \geq K$ . Entonces $\sum_{1}^{\infty}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n \geq \sum_K^\infty\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n \geq (2)^n\sum_K^\infty\mid a_k\mid $

Así que para todos $k \geq K$ tenemos $a_k=0$ . (¡Hasta ahora copiando a Clive!)

Ahora escribe $\sum_{1}^{\infty}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n = \sum_{1}^{K-1}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n= \sum_{b_k>-1}^{k < K}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n + \sum_{b_k=-1}^{k < K}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n +\sum_{b_k<-1}^{k < K}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n$

Al igual que antes, tenemos $\sum_{1}^{\infty}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n \geq \sum_{b_k<-1}^{k < K}\mid a_k\mid \mid b_k \mid ^n \geq \min_{k<K, b_k<-1}(\mid b_k \mid) ^n \sum_{b_k<-1}^{k < K}\mid a_k\mid $ así que debemos tener eso $a_k = 0$ siempre que $b_k <-1$ .

Ahora tenemos $\sum_{1}^{\infty} a_k b_k ^n = \sum_{b_k>-1}^{k < K} a_k b_k ^n + (-1)^n\sum_{b_k=-1}^{k < K} a_k =1$ y tomando el límite como $n$ tiende a $\infty$ tenemos que $(-1)^n\sum_{b_k=-1}^{k < K} a_k$ tiende a 1, una contradicción.