Evaluación de límite dado al $f(x)=\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}$ $g(x)=f(x)+\frac{1}{\tan 2^nx}$

Question

Pregunta Declaración:-

Si $\displaystyle f(x)=\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}$$g(x)=f(x)+\dfrac{1}{\tan 2^nx}$, y luego encontrar el valor de $$\lim_{x\to 0} \bigg( (\cos x)^{g(x)}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}} \bigg)$$

Yo no soy capaz de encontrar el valor de $g(x)$. Podría alguien ayudarme a cómo calcular el valor de $g(x)?$

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\dfrac1{\sin2y}+\dfrac1{\tan2y}=\dfrac{2\cos^2y-1+1}{2\sin y\cos y}=\dfrac1{\tan y}$$

Poner $2y=2^nx$ y reconocer el patrón para encontrar $$\dfrac1{\tan2^nx}+\sum_{k=1}^n\dfrac1{\sin2^kx}=\dfrac1{\tan x}$$

Answer 2

Básicamente, lo que tiene para mostrar (laboratorio bhattacharjee, te dio la pista mientras yo estaba escribiendo) es que $$f(x)=\cot (x)-\cot \left(2^n x\right)$$ which makes $$g(x)=\cot (x)$$ Now consider $$A=\cos(x)^{\cot(x)}\qquad , \qquad B=\bigg(\frac{1}{\cos (x)} \bigg)^{\frac{1}{\sin (x)}} $$ So $$\log(A)=\cot(x) \log(\cos(x))\qquad , \qquad \log(B)=-\frac{1}{\sin (x)}\log(\cos(x))$$ and use Taylor series to get $$\log(A)=-\frac{x}{2}+\frac{x^3}{12}+O\left(x^4\right)$$ $$\log(B)=\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}+O\left(x^4\right)$$ Now, using $y=e^{\log(y)}$ and Taylor again $$A=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O\left(x^4\right)$$ $$B=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}+\frac{3 x^3}{16}+O\left(x^4\right)$$ $$A+B=2+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{4}+O\left(x^4\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Para ilustración puroposes, nos vamos a calcular el valor de la expresión para $x=\frac \pi 4$. El valor exacto es $$\frac{1}{\sqrt{2}}+2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\approx 2.33963$$ while the above formula gives $$2+\frac{\pi ^2}{64}+\frac{\pi ^3}{256}\approx 2.27533$$ and we are far away from $x=0$.

Answer 3

A continuación, presentamos una forma rápida hacia adelante que evita la simplificación $g(x)$ en forma cerrada por el simple uso de los equivalentes. En primer lugar, observamos que para $x\to0$

$$\begin{align} g(x)&=\sum_{k=1}^n \csc(2^k x)+\cot(2^nx)\\\\ &\sim \frac1x\sum_{k=1}^n 2^{-k}+\frac{1}{2^n x} \\\\ &=\frac1x\left(\frac{(1/2)-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}\right) +\frac{1}{2^n x}\\\\ &=\frac{1}{x} \end{align}$$

Además, para $x\to 0$, $\cos(x) \sim 1-\frac12x^2$ y $\sec(x)\sim 1+\frac12 x^2$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\cos^{g(x)}(x)+\sec^{\csc(x)}(x)\sim \left(1-\frac12x^2\right)^{1/x}+\left(1+\frac12x^2\right)^{1/x} \tag 1$$

Tomando el límite de ambos lados de $(1)$ se obtiene el resultado esperado

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\left(\cos^{g(x)}(x)+\sec^{\csc(x)}(x)\right)&=\lim_{x\to 0}\left(\left(1-\frac12x^2\right)^{1/x}+\left(1+\frac12x^2\right)^{1/x}\right)\\\\ &=\lim_{x\to 0}\left(e^{-x/2}+e^{x/2}\right)\\\\ &=2 \end{align}$$

Answer 4

En lugar de tratar de calcular el $g(x)$, usted debe hacer lo siguiente: Puesto que usted está trabajando en una vecindad de a$x=0$, entonces usted debe hacer una expansión de Taylor de las funciones trigonométricas en torno a $0$. También, observe que cuando se $x$ es pequeña, $f(x)\simeq \frac{1}{\sin(2x)}$, y usted puede olvidarse de que el resto de $n-1$ términos en la suma. Al hacer esto, usted debe llegar a algo como esto: \begin{equation} \lim_{x\rightarrow 0} \left( \left(1-\frac{x^2}{2} \right)^{\left(2x \right)^{-1} + \left(2^n x \right)^{-1}}+ \left(1+\frac{x^2}{2} \right)^{x^{-1}} \right) \end{equation} A continuación, hacer una expansión de Taylor de nuevo en torno a cero (hasta el primer orden, es suficiente) y, a continuación, aplicar el límite. Por último, compruebe su respuesta en Mathematica o algo similar.

Answer 5

El siguiente se tiene: $$g(x)=\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}+\dfrac{1}{\tan 2^nx},$$ $$g(x)=\sum^{n-1}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}+(\frac{1}{\sin 2^nx}+\dfrac{1}{\tan 2^nx}),$$ $$g(x)=\sum^{n-1}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}+\dfrac{1}{\tan 2^{n-1}x},$$ $$g(x)=\sum^{n-2}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}+(\dfrac{1}{\sin{2^{n-1}x}}+\dfrac{1}{\tan 2^{n-1}x}),$$ $$g(x)=\sum^{n-2}_{k=1} \frac{1}{\sin 2^kx}+\dfrac{1}{\tan 2^{n-2}x},$$ $$\vdots$$ $$g(x)=\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\tan{2x}}=\tan{x}.$$ Por lo tanto, necesitamos calcular el $$\lim_{x\to 0} \bigg( (\cos x)^{\tan{x}}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}} \bigg).$$ Desde $$(\cos x)^{\tan{x}}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}}=e^{\tan{x}\ln{\cos{x}}}+e^{-\frac{1}{\sin{x}}\ln{\cos{x}}}$$ $$(\cos x)^{\tan{x}}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}}=e^{\tan{x}\ln{(1+2\sin^2{\frac{x}{2}}})}+e^{-\frac{1}{\sin{x}}\ln{(1+2\sin^2{\frac{x}{2}}})}$$ y $$\ln{(1+2\sin^2{\frac{x}{2}}})\sim 2\sin^2{\frac{x}{2}},$$ tenemos $$\lim_{x\to 0} \bigg( (\cos x)^{\tan{x}}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}} \bigg)=\lim_{x\to 0} \bigg ( e^{\tan{x} *2\sin^2{\frac{x}{2}}} + e^{-\frac{1}{\sin{x}}*2\sin^2{\frac{x}{2}}} \bigg)$$ $$\lim_{x\to 0} \bigg( (\cos x)^{\tan{x}}+\bigg(\frac{1}{\cos x} \bigg)^{\frac{1}{\sin x}} \bigg)=\lim_{x\to 0} \bigg ( e^{\tan{x} *2\sin^2{\frac{x}{2}}} + e^{-\tan{\frac{x}{2}}} \bigg)=e^0+e^0=2$$