Sí, es posible.
De acuerdo a Claborn del teorema de cualquier abelian grupo es el grupo de clase de algunas anillo de Dedekind.
Tome un anillo de Dedekind $R$ cuya clase de grupo es isomorfo a $\mathbb Z$ y libremente generada por el ideal de la $I$. Desde $I=\mathfrak m_1 \mathfrak m_2\ldots \mathfrak m_N$ todos $\mathfrak m_i$'s máximo, uno de los máximos ideales, llame a $\mathfrak m$, debe ser sin torsión. Yo reclamo que $\mathfrak m$ está contenido en la unión de los otros máximos ideales de $R$.
De hecho, tomar cualquier valor distinto de cero $f\in \mathfrak m$ y descomponer $(f)$ en un producto de números primos :
$$(f)=\mathfrak m^r.\prod \mathfrak n_i^{r_i}$$ ( $\mathfrak n_i\neq \mathfrak m, \quad $almost all $r_i=0$)
Usted no puede tener todas las $r_i=0$, otra cosa $(f)=\mathfrak m^r$ implicaría que $\mathfrak m$ es de torsión en el grupo de clase.
Desde $f$ es en todos los máximos ideales de la $\mathfrak n_i$$r_i\neq0$ , la demanda está demostrado : $\mathfrak m$ está contenido en la unión de las otras máxima ideales del anillo de Dedekind $R$.
Un fácil de calentamiento Juan (con razón) que evoca el primer teorema de evitación. Es fácil ver que este teorema no se mantenga por un número infinito de números primos. Por ejemplo, considere que el producto anillo de $R=\mathbb Q^{\mathbb N}$ y el máximo de los ideales de la $\mathfrak m_n=\{(q_i)\in R | q_n=0\}\subset R$ . A continuación, el lugar ideal para los $I=\mathbb Q^{(\mathbb N)}$ de casi cero secuencias que se han $I \subset \bigcup \mathfrak m_n$ aunque $I\nsubseteq \mathfrak m_n$ por cada $n$.
Este fácil contraejemplo no responde a Juan el real (el más preciso y el más exigente) pregunta .
Gracias a Jyrki que con precisión señaló (en un ahora, con mucho tacto, eliminado el comentario!) que mi versión anterior incorrectamente se supone que en Claborn del teorema podía tomar primos como generadores libres de la clase de grupo .
Un error en un libro (añadido posterior) En el libro la Teoría Algebraica de números mencionados por Juan en su pregunta el autor describe (en la página 66) una generalizada de la localización. Comienza con una completamente general anillo conmutativo $A$ y un completo conjunto arbitrario $X\subset\text{Spec}(A)$ de primer ideales de $A$. Él comenta que la complementan $S=\text{Spec}(A)\setminus \bigcup \{\mathfrak p|\mathfrak p\in X\}$ es un conjunto multiplicativo y considera que el anillo de fracciones de $A(X)=S^{-1}A$. Él escribe que el único de los números primos $\mathfrak q\subset A$ que sobreviven en $A(X)$ son aquellos que son subconjuntos $\mathfrak q\subset \bigcup \{\mathfrak p|\mathfrak p\in X\}$, y esto es absolutamente correcto. Sin embargo, agrega que en el caso de un anillo de Dedekind $A$ de los sobrevivientes de las ideales son las $\mathfrak p \in X$ . Esta afirmación (repetición de la página 70) no es cierto, como se muestra tomando para $A$ $R$ por encima y por de $X$ el conjunto de todos los máximos ideales en $R$ diferente de la $\mathfrak m$: ese ideal $\mathfrak m$ sobrevive en $R(X)$ aunque no es un elemento de $X$ : $\mathfrak m \notin X $ por la elección de $X$.
Felicitaciones a Juan para la captura de esta muy sutil pequeño error cometido por un gran aritmético en un gran libro.
