La única esférica e independiente de la densidad es normal!

Question

Un conocido resultado es que la única densidad que es esférica e independiente de error es normal: más precisamente

Deje $e_i$ ser errores,

Si el conjunto de densidad de probabilidad cumple $$f_n(e_1,e_2, ..., e_n) = f_1(e_1)f_1(e_2)...f_1(e_n)$$ (la independencia) y, si es esférico: $$f_n(e_1,e_2, ..., e_n) = g_n(\Sigma_{i=1}^{n} e_i^2)$$

entonces, la única densidades que satisfacen ambas condiciones son las normales de densidades:

$$f_1(e_i)={1 \over \sqrt{2 \pi}\sigma} \, \exp(-{1\over2\sigma^2} e_i^2)$$

¿Cómo puedo demostrarlo?

Supongo que tomando la derivada de la $e_i$ $f(e_1,e_2, ..., e_n) = f(e_1)f(e_2)...f(e_n)= f(\Sigma_{i=1}^{n} e_i^2)$ sería un primer movimiento..

Resultado Similar acabo de encontrar..

"Teorema [Herschel-Maxwell]: Vamos a Z∈Rn ser un vector aleatorio para que (i) proyecciones ortogonales subespacios son independientes y (ii) la distribución de Z depende sólo de la longitud ||Z||. Entonces Z se distribuye normalmente.

Citado por George Cobb en la Enseñanza de la estadística: Algunos de los más importantes tensiones de Chile (J. Estadísticas Vol. 2, Nº 1, abril de 2011) en p. 54."

de ¿qué es Lo más sorprendente de la caracterización de la distribución Gaussiana (normal)?

Answer 1

Este es un estándar de cálculo de derivación: simetría esférica le dice que $f_1(x)$ es una función de $x^2$, es decir, $$f_1(x)=g_1(x^2).$$ Independencia además de simetría esférica decirle que $$g_1(u)g_1(0)=g_2(u) \quad\text{and}\quad g_1(u)g_1(v)=g_2(u+v)\propto g_1(u+v)$$ Por lo tanto, reescalado $g_1$ a $h_1$, de modo que la convierten en una igualdad, se derivan de la identidad de la $$h_1(u)h_1(v)=h_1(u+v)$$ para lo cual la única solución es de la forma $$ h_1(u) = \exp \{\alpha u\},\qquad \alpha\in\mathbb{R} $$ Por lo tanto, $$f_1(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\{-x^2/2\sigma^2\},\qquad \sigma\in\mathbb{R}_+,$$ dado que sólo los factores negativos $\alpha$ conducir a densidades.