Por lo que deduzco, no podemos definir simplemente 00 para ser 0 o 1 o 69 o lo que sea, porque lim y \lim\limits_{x\mathop\to0}x^0=1 . Así que 0^0 se llama indeterminado
Pero por qué podemos definir (digamos) 2^3 ? ¿Cómo sé que si \lim\limits_{x\mathop\to c}f(x)=2 y \lim\limits_{x\mathop\to c}g(x)=3 entonces \lim\limits_{x\mathop\to c}f(x)^{g(x)}=8 para todas las funciones f y g ? ¿Es esto cierto y si es así hay alguna prueba?
Puede definir x^n de cualquier manera, por lo que es ciertamente cierto que 2^3 y 0^0 pueden ser definidos.
Algunas personas afirman que definir 0^0=1 de una vez por todas podría dar lugar a contradicciones, pero esta afirmación es errónea. Se basa en una desconfianza general de 0 , combinado con un razonamiento defectuoso, como: (a) argumentos que exigen lo imposible (exigir que una función discontinua sea continua) o (b) argumentos que utilizan afirmaciones erróneas como 0^x = 0 para todos x (lo cual es claramente erróneo, pruebe x=-1 ).
En matemáticas, toda definición se basa en la conveniencia. La razón por la que la notación x^4 se introdujo es porque es más corto que xxxx .
Si x^0 no se definió como 1 (por cada x , incluyendo x=0 ), entonces sería un gran inconveniente. Porque donde quiera que se vea ahora x^n y^m Tendrías que sustituirlo por: "si n=0 entonces y^m y si m=0 entonces x^n y si ambos son 0 entonces 1 y por otra parte x^n y^m ".
Nadie utiliza ese tipo de descripciones engorrosas, simplemente escribimos x^n y^m . La forma en que la notación x^n y^m es comúnmente utilizado sólo es correcto si definimos 0^0 como 1 . Afortunadamente, esta definición se apoya en muchos buenos argumentos (por ejemplo, la regla del producto vacío, los argumentos combinatorios, la teoría de conjuntos, etc., todos ellos producen la misma conclusión) mientras que los argumentos en contra de esta definición utilizan pasos que no serían aceptados en otros contextos.
Ciertamente se puede definir 0^0 . No hay absolutamente ningún límite a lo que se puede definir; lo único que puede ocurrir es que su definición resulte no ser útil.
Así que has hecho dos ejemplos de posibles definiciones de 0^0 . Veamos primero la definición 0^0=69 . Esta definición rompería las leyes de la potencia (por ejemplo, 69 = 0^{0\cdot 2} \ne (0^0)^2 = 69^2 ), sin dar ningún beneficio (no pude contar un solo problema que se simplificara con esa definición).
Por otra parte, la definición 0^0=1 hace simplifica bastantes cosas, por ejemplo asegura que la fórmula binomial (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k b^{n-k} también funciona sin cambios si a o b es 0 .
Sin embargo, lo que es no posible es definir 0^0 de manera que x^y es continua para x=0 y y=0 .
2^3 es simple. Sabemos cómo funcionan las potencias y podemos multiplicar 2 por sí mismo 3 veces. Podríamos hacer eso para la mayoría de los números en lugar de 2 y 3, simplemente multiplicando uno por sí mismo el otro número de veces. Es obvio que lo sabes. 0^0 es un poco más complicado. Te preguntarás por qué, y la respuesta es que 0^0 es lo que llamamos un caso degenerado. Un caso degenerado es cuando un patrón que funciona en muchos ejemplos se desmorona, o degenera. Algo así como que podemos tener 1/3 y 1/2 y 1/1 pero 1/0 no puede existir. 0^x se convierte en 0 para casi todos los números. x^0 se convierte en 1 para casi todos los casos de x. Ambos funcionan para todas las x no nulas pero en 0 se derrumba y no es tan sencillo. Para una mejor explicación y varios puntos de vista sobre el por qué 0^0 debería definirse en realidad como 1 ver ¿Por qué es 0^0=1 ? una pregunta previa que lo discute bastante bien.
Además, 0^0 es una forma indeterminada. Esto significa que no puede existir realmente porque no está definida en un punto de la función de la que deriva. Si quieres saber más sobre las formas determinadas, consulta es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada
IMO, 0^0 es una expresión ambigua, que puede designar tanto un número (comúnmente definido como igual a 1 por buenas razones), o una forma indeterminada, que es una abreviatura de un límite con el patrón f(x)^g(x) donde ambas funciones tienden a cero. Como se sabe, el límite indeterminado puede tomar cualquier valor, dependiendo del f y g .
Examinemos estas dos expresiones: x^0 y 0^x .
Lo sabemos, por definición de poderes, x^0 = 1 .
También sabemos que, por definición de 0 , 0^x = 0 .
Ahora, ¿qué pasa si x = 0 ? Por x^0 = 1 Debe ser 1 . Pero por 0^x = 0 Debe ser 0 también.
Esta es una prueba muy poco rigurosa, pero la idea que la sustenta está básicamente aquí.
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Una muy buena pregunta. (Alguien intervendrá con una respuesta adecuada, pero la versión corta es "porque log y exp son funciones continuas, y porque el límite de un producto es el producto de los límites", lo que deberías poder demostrar tú mismo si conoces la definición de límite)
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Considere el hecho de que \lim_{x \to c}{f(x)}^{g(x)}=\exp\lim_{x \to c}{{g(x)\log{f(x)}}} .
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Para responder a su pregunta, observe que el lado derecho de la ecuación de solstafir es igual a \exp(\lim_{x\to c}g(x)\cdot\lim_{x\to c}(\log(f(x))) cuando existen ambos límites. Lo hacen cuando f(x)\to2 y g(x)\to 3 .
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0^0 puede ser definida y lo ha sido por muchas personas.
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Sería mejor formular la pregunta con calculado en lugar de definido . 0^0 se puede definir muy bien.
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Su argumento sobre 0^0 se basa en la ya abandonada "regla de la continuidad": Si f no es continua en un punto p entonces no hay que definir f(p) . En cuanto a la segunda parte relativa a 2^3 . Los límites conmutan con las funciones si y sólo si la función es continua en ese punto. Así que tu pregunta es equivalente a preguntar si f(x,y)=x^y es continua en el punto p=(2,3) . La respuesta es: sí, es cierto (para ver esto, utilice la ecuación x^y=e^{ln(x) y} que se mantiene en una vecindad abierta adecuada de p ).