Por supuesto que puede ser probada.
Qué $f(x)=f(y)$ implican $x=y$ por cada $x,y\in \emptyset$? Sí, trivialmente: no existen elementos y así que esto es cierto vacuously. Por lo tanto, $f$ es inyectiva.
$f[\emptyset]=\{ s\in S \mid \text{there exists $x\in \emptyset$ such that $f(x)=s$}\}$ es igual al conjunto vacío porque no hay ninguna $x\in \emptyset$. Por lo tanto, $f$ es surjective sólo al $S=\emptyset$.
Las definiciones de inyectividad y surjectivity continuar a estar bien definidos, no importa lo que el conjunto o función. Mientras que a veces las cosas son verdad (o lo contrario) vacuously es un poco extraño, en última instancia, le estamos pidiendo a preguntas puntuales que cuando decimos "es $f$ inyectiva o surjective" y podemos aplicar las definiciones de $\emptyset$ aunque intuitivamente podría parecer incómodo.
Porque, como Thomas Andrews señaló, vacuo verdades son a menudo un problema tan lejos como la intuición de que se trate, tal vez algunos ejemplos son el fin de hacer que sea un poco más cómodo.
- Supongamos que me dijo "Todas las lunas que tengo son de queso." Esta sería una verdad declaración porque, bueno, no soy dueño de ninguna de las lunas, así que si o que no está hecha de queso o no no es importante.
- Un poco más sutil ejemplo es el siguiente: "cada letra `z' en la última frase se escribe en mayúscula". En este ejemplo, las cosas son un poco más razonable, y la primera intuición para tratar de deducir el valor de verdad de esta declaración sería buscar en mayúsculas de la z en la mencionada sentencia. Sin embargo, esta no es la forma correcta: nos encontraríamos con que no hay mayúsculas de la z en el sentido (y así se podría pensar que la declaración falsa), pero en realidad lo que la frase está diciendo es que "si hay una z, entonces z es capitalizado". No hay ninguna z, así que de nuevo, si están o no en mayúsculas no es necesario considerar.
La traducción de los ejemplos anteriores en más declaraciones formales da
$$\forall \text{moons} ((\text{I own the moon})\rightarrow (\text{the moon is made of cheese}))$$
y
$$\forall \text{z} ((\text{z is in sentence})\rightarrow (\text{z is capitalized}))$$
En cada caso, tenemos una declaración de la forma $\forall x (P(x)\rightarrow Q(x))$. Así que el tema en cada uno de los casos es que el $P(x)$ termina siendo falso para cada $x$, y cuando ese es el caso, $\forall x (P(x)\rightarrow Q(x))$ es cierto.
Así que, esencialmente, lo que sucede cuando tenemos un vacío de la verdad que surge del conjunto vacío de no tener elementos es que $P(x)$ es algo como $x\in \emptyset$. Entonces porque esta es siempre falso, nos encontramos con que $\forall x (x\in \emptyset \rightarrow Q(x))$ mantiene, no importa lo $Q(x)$ es.
Para la inyectividad, en cambio tenemos
$$\forall x (x\in \emptyset \rightarrow \forall y (((y\in \emptyset) \wedge (f(y)=f(x)))\rightarrow (y=x)))$$
por lo $P(x)$$x\in \emptyset$$Q(x)$$\forall y (((y\in \emptyset) \wedge (f(y)=f(x)))\rightarrow (y=x))$.
Así que en realidad la intuición de que el vacuo verdad funciona porque $P\rightarrow Q$ es verdadera siempre que $P$ es falso, independientemente de la verdad de $Q$.
