Deje $X_n$ ser una secuencia de variables aleatorias IID con finito media y el primer momento, vamos a $S_n = \sum_1^n X_n $, entonces es cierto que \begin{equation} \frac{S_n - S_{n-r_n}}{r_n} \end{equation} converge casi seguramente a la media de la si $\liminf \frac{r_n}{n} > 0$? Básicamente estamos tomando la última $r_n$ variables y calcular el promedio. Lo que es una manera de mostrar esto? También, al parecer, sin la condición de falla, incluso si $\lim r_n = \infty $, no puedo pensar de un contraejemplo, porque ni siquiera puedo mostrar esto.
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jldugger
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Es cierto. De hecho, basta con asumir que $n-r(n)$ diverge.
Hay un meta-teorema de acechan aquí, así que yo en un principio vago, tanto sobre la forma de convergencia e incluso acerca de lo que es convergente. Supongamos que tenemos una contables secuencia $(X_i)=X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ de los objetos matemáticos con los siguientes mínimos propiedades:
Pueden ser promediadas. Específicamente, para $0\le m \lt n$ vamos
$$S_{m,n} = (X_{m+1} + X_{m+2} + \cdots + X_n) / (n-m)$$
ser un "parcial promedio" entre el$m$$n$.
Sus promedios convergen: $S_n \to \mu$ $n\to \infty$.
Ellos son "auto-similares" en el sentido de que cualquier propiedad de la secuencia también se cumple para cualquier cola secuencia $(Y_i)$ donde$Y_i = X_{m+i}$$m \ge 0$. (En particular, esto significa que si la cola de los promedios de la $X_i$ convergen a $\mu$ a una cierta velocidad, a continuación, la cola de los promedios de la $Y_i$ también convergen a $\mu$ a la misma velocidad.)
Deje $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ ser el no-cero de números naturales y supongamos $r: \mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\}$ que $r(n) \lt n$ todos los $n$. La pregunta acerca de la convergencia de $S_{r(n), n}$. Vamos a ver lo que podría ser necesaria para hacer que eso suceda.
Acerca de la única manera efectiva de analizar estos parcial de los promedios es romper las sumas:
$$\eqalign{ n S_n &= n(X_1 + \cdots + X_n)/n \\ Y= (X_1 + \cdots + X_r(n)) + (X_{i(n)+1} + \cdots + x_n) \\ y= r(n) S_{r(n)} + (n-r(n)) S_{r(n), n}. }$$
Tras la reorganización de podemos resolver para el promedio de la cola:
$$S_{r(n), n} = \frac{n S_n - r(n)S_{r(n)}}{n - r(n)}.$$
Esto nos puede dar problemas si el denominador sigue siendo pequeño. Supongamos, sin embargo, que $n - r(n) \to \infty$: es decir, para cualquier $N\in\mathbb{N}$ existe $n_0$ tal que $n-r(n) \gt N$ todos los $n\ge n_0$. Es fácil ver que en este caso el lado derecho también convergen a $\mu$, debido a que
$S_n\to \mu$.
$S_{r(n^\prime)} \to \mu$ para cualquier subsequence $n^\prime$ que $r(n^\prime)\to\infty$.
$\frac{r(n^\prime)}{n^\prime-r(n^\prime)}S_{r(n^\prime)}\to 0$ $\frac{n^\prime - r(n^\prime)}{n^\prime-r(n^\prime)}S_{n^\prime}\to \mu$ para cualquier subsequence $n^\prime$ que $r(n^\prime)$ sigue siendo limitada.
Por el contrario, si $n-r(n)$ tiene un almacén infinito subsequence $n^\prime$, entonces todas las apuestas están apagadas: $S_{r(n^\prime), n^\prime}$ es una secuencia de cola promedios que implican un acotado número de la $X_i$ y de los supuestos (1) - (3) no nos permiten inferir nada acerca de ellos. Casi cualquier secuencia que no es exactamente igual a su límite después de un número finito de elementos podría servir como un contraejemplo.
Por lo tanto, es evidente que el estado adecuado para invocar (porque es a la vez necesaria y suficiente para la convergencia de la cola promedios) es la suposición de que $n-r(n)$ bifurca: esto será suficiente para garantizar la convergencia de las $S_{r(n), n}$$\mu$. Esta es una más débil condición de $\lim\inf \frac{r(n)}{n} \gt 0$ (lo que implica claramente la divergencia de $r(n)$). Consideremos, por ejemplo, la secuencia de $r(n) = \lfloor \sqrt{n}\rfloor$. Para esta secuencia, $r(n)$ diverge sino $r(n)/n$ converge a cero.
Proporcionar los pasos detallados para una secuencia de variables aleatorias iid y casi seguro que la convergencia es ahora una realidad puramente mecánica del ejercicio, lo que dejo para el lector (porque esto es un auto-estudio de la cuestión).
