La expectativa de secuencias de variables aleatorias que converge a 0 en probabilidad

Question

Deje $X_n, n \geq 1$ ser una secuencia de variables aleatorias que converge a cero en la probabilidad, es decir, $\forall \varepsilon >0$, $$\lim_{n \to \infty} P(|X_n| < \varepsilon) = 1$$ Por otra parte, vamos a $X_n=o_p(n^{-1})$, $\forall \varepsilon >0$, $$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X_n}{n^{-1}}\right| < \varepsilon\right) = 1,$$ o, equivalentemente, $\forall \varepsilon, \eta >0$ existe $n_0$ tal que para $n\geq n_0$, $$P\left(\left|\frac{X_n}{n^{-1}}\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\eta,$$

Mi pregunta es, ¿qué podemos decir acerca de la $E(X_n)$ al $n \to \infty$? Por ejemplo, es cierto que $E(X_n)=o(n^{-1})$? O, más en general, es cierto que $E(o_p(n^{-1}))=o(n^{-1})$? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

No, no puedes decir nada de eso. Considere la posibilidad de $(X_n)_n$ definida como $$X_n=\begin{cases}0 &\text{ w.p. } 1- \frac{1}{n}\\ n^2 &\text{ w.p. }\frac{1}{n}\end{casos}$$

A continuación, $\mathbb{E}[X_n] = n\xrightarrow[n\to\infty]{} \infty$ (y modificando el ejemplo anterior, usted puede reemplazar la tasa de crecimiento $n$ por cualquier cosa te gustaría), pero, para cualquier $\varepsilon > 0$, $$ \mathbb{P}\{ n\lvert X_n\rvert < \varepsilon \} \geq 1-\frac{1}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1. $$