Acotamiento y el total de acotamiento

Question

Decimos que un espacio métrico $M$ es totalmente acotado si para cada a$\epsilon>0$, $x_1,\ldots,x_n\in M$ tal que $M=B_\epsilon(x_1)\cup\ldots\cup B_\epsilon(x_n)$.

Probar que si $M$ es totalmente acotado espacio métrico, a continuación, $M$ está acotada. Dado un ejemplo para mostrar que el recíproco es falso.

La "demostrar" que es parte de la rutina. Dado los puntos de $a,b$, supongamos $a$ está en la bola de $x_i$ $y$ está en la bola de $x_j$. A continuación,$d(a,b)\le d(a,x_i)+d(x_i,x_j)+d(x_j,b)<\epsilon+d(x_i,x_j)+\epsilon$. Ya que hay sólo un número finito de valores de $d(x_i,x_j)$, hemos terminado.

Para el "ejemplo" de la parte, el espacio debe ser limitada, pero de alguna manera no existe $\epsilon$ de manera tal que el espacio no pueden ser cubiertas con un número finito de bolas de radio $\epsilon$. No puedo pensar en lo que el espacio debería parecer... cosas como $[a,b]$, abierto a la pelota, etc. son totalmente acotado.

Answer 1

Sugerencia: Considere la posibilidad de un conjunto infinito en la métrica discreta. (Cada punto es la distancia $1$ a cada otro punto.)