¿Cuál es la intuición para el hecho de que $\mathscr{O}(-k)$ y $\mathscr{O}(k)$ son tan diferentes?

Question

Tal vez esta pregunta no tiene sentido y no puedo aceptar el hecho de que la dualidad del haz de líneas sea diferente del propio haz de líneas respectivo. Como parece que los colectores son más intuitivos que las variedades algebraicas, consideremos los colectores compactos complejos y lisos.

De todos modos, escogiendo el haz de líneas más ordinario no trivial sobre una variedad compleja, es decir, el haz de líneas tautológico, se sabe que $0 = H^0(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(-k)) \not\cong H^0(\mathbb{P^n}, \mathscr{O}(k)) =$ "polinomios homogéneos de grado $k$ ", porque si ambos tienen secciones globales no triviales, entonces ambos deben ser triviales (porque la variedad es compacta). Otra forma de ver esto es calculando los cócleos de los respectivos haces.

¿Hay alguna forma intuitiva de ver por qué el anterior y el dual del anterior son tan diferentes (dibujando o viendo dónde falla el encolado al intentar crear una sección global)?

¿Dónde falla cuando intento crear un isomorfismo entre algún haz de líneas y su dual escogiendo isomorfismos fibrosos (como espacios vectoriales de dimensión compleja $1$ )?

Si sólo consideramos la estructura lisa (sin la holomorfa), ¿qué ocurre con las secciones globales de ambos haces en el ejemplo anterior? Cuando el isomorfismo fibroso no es un haz vectorial (de rango $2$ ) isomorfismo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como algunos comentarios a la pregunta me parecen un poco ambiguos, permítanme insistir:

Para $k\gt0$ los haces de líneas $\mathcal O(k)$ y $\mathcal O(-k)$ no son isomorfas en el $C^0$ -y por lo tanto a fortiori no es isomorfo en el $C^\infty$ -categoría.

En otras palabras, el no isomorfismo por el que preguntas no tiene nada que ver con la geometría algebraica y ya se puede leer en el colector topológico subyacente y en los haces topológicos subyacentes.
La prueba más convincente es el uso de las primeras clases de Chern: $$ c_1(\mathcal O(k))=k\neq c_1(\mathcal O(-k))=-k\in H^2(\mathbb P^n(\mathbb C),\mathbb C)=\mathbb C$$ Tenga en cuenta que si un real tiene una métrica riemanniana, entonces es isomorfo a su dual, pero si un complejo paquete de líneas $E$ tiene una métrica hermitiana (que es el caso de $E=\mathcal O(k)$ ) sólo se puede decir que su doble $E^\ast$ es isomorfo a su haz conjugado $\overline E$ pero no a $E$ sí mismo.

Bibliografía
El mejor recurso para estos resultados es, con mucho, el justamente celebrado libro de Milnor-Stasheff Clases de características especialmente los §§ 13 y 14.