Tal vez esta pregunta no tiene sentido y no puedo aceptar el hecho de que la dualidad del haz de líneas sea diferente del propio haz de líneas respectivo. Como parece que los colectores son más intuitivos que las variedades algebraicas, consideremos los colectores compactos complejos y lisos.
De todos modos, escogiendo el haz de líneas más ordinario no trivial sobre una variedad compleja, es decir, el haz de líneas tautológico, se sabe que $0 = H^0(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(-k)) \not\cong H^0(\mathbb{P^n}, \mathscr{O}(k)) =$ "polinomios homogéneos de grado $k$ ", porque si ambos tienen secciones globales no triviales, entonces ambos deben ser triviales (porque la variedad es compacta). Otra forma de ver esto es calculando los cócleos de los respectivos haces.
¿Hay alguna forma intuitiva de ver por qué el anterior y el dual del anterior son tan diferentes (dibujando o viendo dónde falla el encolado al intentar crear una sección global)?
¿Dónde falla cuando intento crear un isomorfismo entre algún haz de líneas y su dual escogiendo isomorfismos fibrosos (como espacios vectoriales de dimensión compleja $1$ )?
Si sólo consideramos la estructura lisa (sin la holomorfa), ¿qué ocurre con las secciones globales de ambos haces en el ejemplo anterior? Cuando el isomorfismo fibroso no es un haz vectorial (de rango $2$ ) isomorfismo?
Gracias de antemano.