Negación de la definición de continuidad

Question

Esta debería ser una pregunta muy fácil pero puede ser que me esté confundiendo. Así que tenemos la definición de una función $f$ en $S$ siendo continuo en $x_0$ :

Para cualquier $ \epsilon $ >0, existe $ \delta >0$ de tal manera que: siempre que $|x-x_0|< \delta $ Tenemos $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon $

Y asumo que la negación es

Existe $ \epsilon $ >0 tal que para todos $ \delta >0$ , $|x-x_0|< \delta $ todavía $|f(x)-f(x_0)| \ge \epsilon $ .

Ahora quiero mostrar que la función $f(x)= \sin ( \frac {1}{x})$ junto con $f(0)=0$ no puede convertirse en una función continua en $x=0$ . Así que necesito mostrar que existe $ \epsilon >0$ de tal manera que para todos $ \delta >0$ , $|x|< \delta $ todavía $|f(x)| \ge\epsilon $ .

Deje que $ \epsilon = \frac {1}{2}$ . Entonces, no importa lo que pase $ \delta $ elegimos, dejemos $|x|< \frac {1}{2}$ . Es ciertamente posible que $|f(x)| \ge \frac {1}{2}$ porque, bueno, $ \frac {1}{x}$ puede realmente tomar un valor arbitrariamente grande como $x$ es pequeño.

Ahora, lo que me confunde es que, como $x$ se hace pequeño, $f(x)$ puede ser ciertamente mayor que $ \frac {1}{2}$ por infinitas veces, pero también será menos que eso, infinitas veces. Pero supongo que en realidad no importa. Así que creo que hay algo malo en mi negación pero no pude averiguar dónde.

Actualizar: La versión correcta se puede encontrar aquí . Vigila a Lemma 4.6

Answer 1

La negación es:

Existe $>0$ tal que para todo $>0$ Hay un $x_\delta$ tal que $ |x_\deltax_0|<$ Sin embargo, $|f(x_\delta)f(x_0)|$

Answer 2

Tu negación es correcta; sin embargo, deberías especificar que lo que estás definiendo es la continuidad en el punto $x_0$ que es distinta de la continuidad en todo el dominio $S$ .

Su elección de $\epsilon=1/2$ está bien. Sin embargo, necesitas hacer algo más de trabajo para demostrar que $f$ no puede ser continua. Supongamos que intentamos hacer $f$ en una función continua asignando $f(0)=y_0$ . Tome cualquier $\delta>0$ .

Caso 1: Supongamos que $y_0<0$ . Sea $x=1/(\pi/2+2\pi N)$ donde $N$ se elige lo suficientemente grande para que $|x|<\delta$ . Entonces $|f(x)-f(x_0)|=|1-y_0|\geq1>\epsilon$ lo que demuestra la discontinuidad.

Caso 2: Supongamos que $y_0\geq0$ . Sea $x=1/(-\pi/2+2\pi N)$ donde $N$ se elige lo suficientemente grande para que $|x|<\delta$ . Entonces $|f(x)-f(x_0)|=|-1-y_0|\geq1>\epsilon$ lo que demuestra de nuevo la discontinuidad.

Por lo tanto, concluimos que no hay opción de $y_0=f(0)$ que hace que $f$ continua a cero.

Answer 3

La negación es:

existe $\epsilon >0$ tal que para cualquier $\delta>0$ podemos encontrar un $x$ tal que $|x-x_0|<\delta$ y $|f(x)-f(x_0)| > \epsilon$ .

Y tú acabas de demostrarlo.

Answer 4

Cuando estés confundido sobre la negación de una afirmación con múltiples cuantificadores ("para todos", "existe"), recuerda el siguiente truco fácil.

Dejemos que $\forall$ significa "para todos", que $\exists$ significa "existe", y que $\neg$ significa negación. Sea $P$ sea una declaración arbitraria (por ejemplo, " $|x - x_{0}| < \delta$ implica $|f(X) - f(x_{0})| < \epsilon$ ").

Entonces $\neg \forall P$ es lógicamente equivalente a $\exists \neg P$ . Iterando, encontramos, por ejemplo, que $\neg \forall \exists P$ equivale a $\exists \forall \neg P$ . La regla es: "Empujar la negación y cambiar todos los cuantificadores".

En tu caso, tienes: " $\forall \epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\forall x$ que tenemos: $|x - x_{0}| < \delta$ implica $|f(X) - f(x_{0})| < \epsilon$ ". Recordemos que la negación de la afirmación " $Q$ implica $R$ " es " $Q$ y $\neg R$ ". Es decir, un condicional negado (un enunciado con "implica" en él) significa que el antecedente (el enunciado antes de "implica", es decir $|x - x_{0}| < \delta$ ) es verdadero y el consecuente (la afirmación después de "implica", es decir $|f(X) - f(x_{0})| < \epsilon$ ) es falso (Por lo tanto, $|f(X) - f(x_{0})| \geq \epsilon$ ).

Ahora obtenemos la afirmación negada deseada utilizando la regla anterior:

" $\exists \epsilon > 0$ tal que $\forall \delta > 0$ , $\exists x$ tal que $|x - x_{0}| < \delta$ y $|f(x) - f(x_{0})| \geq \epsilon$ ".