Lo que se requiere para mostrar $S = \{e^{i n \theta}: n \in \mathbb{Z}\}$ es una base para $L^2([0, 2\pi])$?

Question

He leído algunos artículos que hacen uso de una 'base de Fourier' cuando la descomposición de algunas funciones, pero me pregunto si hay más de profundidad detrás de esa frase y lo que podemos rigurosamente decir sobre esta base. Supongamos que queremos ser rigurosos. En ese caso, ¿es correcto decir que el conjunto de funciones

$S = \{e^{i n \theta}: n \in \mathbb{Z}\},$

constituye una base para $L^2([0, 2\pi])$, ya que cualquier función de $f \in L^2([0, 2\pi])$ puede ser representado como una combinación lineal de los cosenos y senos? O es necesario demostrar que el conjunto de funciones $S$ es un Hamel o Schauder base para el espacio de $L^2([0, 2\pi])$? Si es esto último, que tipo de base en este conjunto de funciones $S$, Hamel o Schauder? Y ¿cómo podemos mostrar que es una base?

Answer 1

El hecho de que su conjunto forma un ortonormales sistema puede ser verificada directamente por un cálculo. Lo difícil es demostrar que este sistema es completo (o, en otras palabras, que el $\operatorname{span}(S)$ que es el espacio de polinomios trigonométricos es denso en $L^2([0,2\pi])$ con respecto al $L^2$ norma). Una manera de hacerlo es utilizar primero el de Stone-Weierstrass teorema para demostrar que el espacio de polinomios trigonométricos es denso en $C[0,2\pi]$ con respecto a la supremum de la norma y, a continuación, utilizar la densidad de funciones continuas en $L^2([0,2\pi])$ (con respecto a la $L^2$ norma), y el hecho de que converge en el supremum de la norma implica converge en el $L^2$ norma para deducir el resultado requerido.