Resolver $x^2 \equiv a (\text{mod }6)$

Question

Mientras me preparo para los exámenes de invierno estoy haciendo algunas preguntas de exámenes antiguos, pero no puedo pasar de la siguiente pregunta:

Encuentre todos $0 \le a \lt 6 \in \mathbb{Z}$ donde $x \in \mathbb{Z}: x^2 \equiv \text{a (mod 6)}$

Puedo hacer alguna solución de prueba y error, pero estoy bastante seguro de que se puede hacer de una manera más elegante... Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Obsérvese que, por el teorema chino del resto, si sabemos qué $x^2$ es equivalente a mod 2 y 3, sabemos que es equivalente a mod 6. Nótese que $ x^2 \not\equiv -1 \pmod 3 $ pero $ x^2 \equiv 0, 1 \pmod 2 $ .

A partir de aquí, vemos que $ x^2 \equiv 0, 1, 3, 4 \pmod 6 $ son las únicas soluciones posibles.

Answer 2

Usted sabe que $x \equiv 0,1,2,3,4$ o $5\bmod 6$ . Sólo hay que revisar los casos uno por uno: $$\begin{eqnarray*} 0^2 &=& 0 &\equiv& 0 \bmod 6 \\ 1^2 &=& 1 &\equiv& 1 \bmod 6 \\ 2^2 &=& 4 &\equiv& 4 \bmod 6 \\ 3^2 &=& 9 &\equiv& 3 \bmod 6 \\ 4^2 &=& 16 &\equiv& 4 \bmod 6 \\ 5^2 &=& 25 &\equiv& 1 \bmod 6 \end{eqnarray*}$$ De ello se desprende que $x^2 \equiv 0,1,3$ o $4 \bmod 6$ . En particular: $x^2 \not\equiv 2$ o $5 \bmod 6$ .

Answer 3

Una pista: $x^2 \equiv 0$ o $1$ mod $3$ , pero puede ser cualquier cosa mod $2$ .