La cardinalidad de suma

Question

¿Cómo puedo probar que, para el conjunto de $X$,

$$\sum_{S\subseteq X, S\neq \emptyset}\frac{(-1)^{|S|}}{|X|+|S|} = \frac{|X|!(|X|-1)!}{(2|X|)!}$$

He estado alrededor de este ejercicio todos los días y le aprecio mucho su ayuda.

Answer 1

Nos deja denotar $n = |X|$. Entonces

$$\begin{align*} \sum_{S\subset X} \frac{(-1)^{|S|}}{|X|+|S|} &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{(-1)^{k}}{n+k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k} \int_{0}^{1} x^{n+k-1} \, dx \\ &= \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k} x^{n+k-1} \, dx = \int_{0}^{1} x^{n-1} (1 - x)^{n} \, dx \\ &= \beta(n, n+1) = \frac{\Gamma(n)\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+1)} = \frac{(n-1)!n!}{(2n)!} \end{align*}$$

como se desee.