Prueba de la regla de la cadena

Question

Dejemos que $a \in E \subset R^n, E \mbox{ open}, f: E \to R^m, f(E) \subset U \subset R^m, U \mbox{ open}, g: U \to R^l, F:= g \circ f.$ Si $f$ es diferenciable en $a$ y $g$ diferenciable en $f(a)$ entonces $F$ es diferenciable en $a$ y $F'(a)=g'(f(a)) f'(a)$ .

Me han dado una pequeña prueba, pero no entiendo todos los pasos.

Tenemos $f(a+h) = f(a) + f'(a)h + o(|h|)$ y $g(f(a)+k) = g(f(a)) + g'(f(a))k + o(|k|)$ como $h,k \to 0$ . Así,

$\begin{align} F(a+h)=(g \circ f)(a+h) &= g(f(a+h)) \\ &= g(f(a)+f'(a)h+o(|h|)) \\ &= g(f(a)) + g'(f(a))(f'(a)h+o(|h|)) + o(|f'(a)h+o(|h|)|) \\ &= (g\circ f)(a) + g'(f(a))f'(a)h+o(|h|) + o(O(|h|)) \\ &= F(a) + g'(f(a))f'(a)h+o(|h|) + o(|h|). \end{align}$

Eso es todo. Siento que hay algún truco involucrado con la pequeña o en la gran o. Mis problemas son:

¿Por qué $f'(a)h+o(|h|) \to 0$ cuando $h\to 0$ . Veo que el primer término tiende a $0$ pero, ¿cómo es que $o(|h|) \to 0$ ?

$g'(f(a))o(|h|))=o(|h|)$ .

$o(|f'(a)h + o(|h|)|)=o(O(|h|))$

$o(|h|) + o(|h|) = o(|h|)$ .

Esto último no está incluido en la prueba, pero supongo que es algo trivial. He intentado resolverlo con las definiciones de o grande y o pequeña, pero no he conseguido nada. Es una confusión para mí cómo puedo hacer cálculos con big o y little o, ya que realmente no se pueden realizar operaciones algebraicas con ellos y es más como una propiedad de la función.

Si alguien pudiera mostrarme cómo se hace esto se lo agradecería mucho.

Answer 1

El símbolo $o(|h|)$ es como una variable para una función $g(h)$ que satisface $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(h)}{|h|} = 0.$$ Al multiplicar cualquier función de este tipo por una constante se obtiene otra función de esa clase, por lo que escribimos $co(|h|) = o(|h|).$ Del mismo modo, sumando dos funciones cualesquiera de esa clase se obtiene otra función de esa clase, por lo que $o(|h|) + o(|h|) = o(|h|).$

$O(f(x))$ representa cualquier función $g(x)$ para que haya algo de $M$ para que $|g(x)| \leq M|f(x)$ para $x$ cerca de 0. Queremos mostrar $f'(a)h + o(|h|)$ es $O(|h|)$ . Esto significa que si $g(h)$ es una función en $o(h)$ entonces necesitamos una constante $M$ para que $|f'(a)h + g(h)| \leq |h|$ . Pero $$|f'(a)h + g(h)| \leq |f'(a)||h| + |g(h)|,$$ y como la relación $\frac{g(h)}{h}$ llega a cero, debe haber una vecindad de $0$ para lo cual $|g(h)| \leq |h|$ . Así que $o(|f'(a)h + o(|h|)|)$ es $o(O(|h|)$ .

Ahora para mostrar $o(O|h|)$ es $o(|h|)$ . Supongamos que $g$ es $o(O|h|)$ . Entonces existe una función $p$ es decir $O(|h|)$ con $\lim \frac{g(h)}{p(h)} = 0$ . Elija $M$ para que $|p(h)| \leq M|h|$ cerca de $0$ . Entonces $\frac{g(h)}{|h|} \leq \frac{Mg(h)}{p(h)} \rightarrow 0$ .

Si se quisiera, se podría recorrer fácilmente la prueba y reemplazar cada instancia de $o$ o $O$ por una función real con las propiedades requeridas.