Ejercicio 4.5.E a) en Fundamentos de Geometría Algebraica de Ravi Vakil.

Question

Hola! Estoy siguiendo la sugerencia dada en el Ejercicio 4.5.E en Vakil los Fundamentos de la Geometría Algebraica, pero estoy atascado tratando de demostrar que si $a_1,a_2 \in Q_i$,$a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2 \in Q_{2i}$.

Lo que he probado hasta ahora: Hemos $$a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2 \in Q_{2i} \text{ iff } (a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2)^{\deg f}/f^{2i} \in P_0.$$ I have tried expanding this using the binomial formula, but this doesn't get me anywhere (at least not at the moment) as I would like each term to be in $P_0$, sin embargo no puedo ver por qué esto debería ser el caso para cualquier plazo, excepto el primero y el último (es decir, el completamente obvias). Estoy esperando una muy generosa sugerencia o incluso sólo una solución completa.

Por la forma en que esta no es la tarea, o una asignación o algo por el estilo, esto es sólo yo tratando de obtener una mejor comprensión de la Geometría Algebraica trabajando a través de los ejercicios de Vakil notas, ya que me parece muy esclarecedor (tanto cuando se trata del rigor y la intuición). Gracias de antemano.

Añadido por el bien de la auto-contención: En este ejercicio vamos a demostrar que si $S$ es un anillo graduado, entonces no es un bijection entre el primer ideales de $(S_f)_{0}$ (el grado cero de los elementos en $S$ localizada en el elemento $f \in S$) y la homogeneidad de primer ideales en $S$ que no contengan $f$. Vamos a evitar la notación en la prueba de los poco más fuerte declaración:

Si $A$ es graduado anillo con un elemento invertible $f$ de grado positivo, entonces hay un bijection entre el primer ideales de $A_0$ y el homogéneo primer ideales de $A$.

Una dirección es obvio (sólo el uso de la inclusión $A_0 \to A$), por el otro dado un primer ideal $P_0$$A_0$, definimos $P = \oplus Q_i$ donde $Q_i \subset A_i$, y un elemento $a \in A_i$ está contenido en $Q_i$ fib $a^{\deg(f)}/f^i \in P_0$. Vamos a mostrar que este es un primer ideal, y siguiendo las sugerencias dadas, uno de los pasos en la prueba de esta afirmación es el que muestra la anterior (es decir,$a_1^2 + 2a_1a_2+a_2^2\in Q_{2i}$). Todo el ejercicio se puede leer en la página 146 en las notas, aquí.

Answer 1

Si $A$ es graduado anillo con un elemento invertible $f$ de grado positivo, entonces hay un bijection entre el primer ideales de $A_0$ y el homogéneo primer ideales de $A$.

Sugerencia. La correspondencia está dada por $\mathfrak p_0\mapsto\sqrt{\mathfrak p_0A}$.

Edit. Aunque considero que la forma de Vakil prueba de la anterior afirmación tan lejos de los mejores, vamos a demostrar que si $a_1,a_2\in Q_i$$(a_1+a_2)^2\in Q_{2i}$: set $r=\deg f$ y, a continuación, hemos $a_1^r/f^i\in P_0$, $a_2^r/f^i\in P_0$, y quieren mostrar que la $(a_1+a_2)^{2r}/f^{2i}\in P_0$. Esto es obvio, ya que para $k+l=2r$ $k\ge r$ (si $k<r$ $l>r$ y el uso de un argumento similar), podemos escribir la $a_1^ka_2^l/f^{2i}=(a_1^r/f^i)(a_1^{k-r}a_2^l/f^i)$ y tenga en cuenta que $\deg(a_1^{k-r}a_2^l/f^i)=i(k-r)+il-ir=0$.