Ayer estaba pensando acerca de un problema, cuando una pregunta interesante apareció:
¿Existe una secuencia $a_n \geq 0$ de los no-negativos números reales tales que a$\sum_{n \geq 1} n a_n^2 < \infty$$\sum_{n \geq 1} a_n = \infty$?
Después de pensarlo por un tiempo, yo no podía llegar con un ejemplo de esto o una prueba de que esto es imposible. Es esta conocida (no he podido encontrar en línea)?
Comentarios:
Una cosa que he notado es que, si $p > 1$ es fijo, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $$\frac{1}{n^p} <a_n < \frac{1}{n} \forall n.$$ La razón por la siguiente:
Suponga que existe $a_n$ que satisface las dos condiciones, y deje $S = \left\{n \in \mathbb{N}, n \geq 1 | a_n < \frac{1}{n}\right\}$. A continuación, para cada $n \geq 1, n \notin S$,$a_n \leq na_n^2$, lo $$\sum_{n \notin S} a_n \leq \sum_{n \geq 1} n a_n^2 < \infty $$
Por lo tanto, desde el $\sum_{n \geq 1} a_n = \infty$, se deduce que el $\sum_{n \in S} a_n = \infty$. Si tomamos $b_n = \begin{cases} a_n, &n \in S \\ 0, &n \notin S \end{cases}$, $b_n$ es un no-secuencia negativa también la satisfacción de las dos propiedades. Por lo tanto, podemos suponer que wlog que $a_n < \frac{1}{n} \forall n$.
Ahora, si $p>1$ se fija también podemos asumir wlog que $a_n > \frac{1}{n^p}$, porque si $a_n$ satisface las dos propiedades, a continuación, $$b_n = \begin{cases} a_n, &a_n > \frac{1}{n^p} \\ \frac{1}{n^{(p+1)/2}}, &a_n \leq \frac{1}{n^p} \end{cases}$$ también les satisface.
