Muestran que

Question

He estado intentando esta pregunta, sólo me preguntaba si mi respuesta se ve bien.

Pregunta: Dado que$A \in \Bbb{K}^{n\times n}$ muestra que$\left\| \exp(A)-\mathbf{1} \right\| \leq e^{\left\|A\right\|}-1$

Mi prueba es la siguiente

Si$\left\| . \right\|$ es la norma de matriz con la propiedad submultiplicadora$\left\|AB\right\| \leq \left\|A\right\| \left\|B\right\|$

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Sabemos por desigualdad triangular que

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Por lo tanto

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¿Esto parece bien?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Es correcto incluso rigurosamente deberíamos escribir por la desigualdad del triángulo

$$\Vert \sum_{k=0}^n \frac1{k!}A^k-I\Vert\le \sum_{k=1}^n\frac{\Vert A\Vert^k}{k!} Y pasamos a limitar$n\to+\infty$ usando la continuidad de la norma para obtener la desigualdad deseada.

Answer 2

Como la pregunta no definir el tipo de norma usada aquí, me gustaría señalar que si la norma no es submultiplicative (es decir,$\|AB\| \leq \|A\|\|B\|$ ), luego de la declaración (y su prueba) son falsas. A menudo se habla de una matriz norma si este es el caso, pero estas no son las únicas normas de la matriz espacios!

Considere la posibilidad de la $p$-norma dada en http://math.stackexchange.com/a/483869/336630 - Vamos a tomar la misma matriz,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$$p = 3$. Se puede calcular que para esta dado de la norma, $\| \exp(A) - \mathbf{1}\|_3 \approx 5.071$, mientras que de $e^{\|A\|_3} -1 \approx 3.891$.

El problema en la prueba radica en la suposición implícita de que $\|A^k\| \leq \|A\|^k$ todos los $k$.