¿Qué pullbacks preservan el haz de diferenciales?

Question

Deje $f : X \to Y$ ser una de morfismos de $S$-esquemas. Suponga que la canónica de morfismos $\alpha : f^* \Omega^1_{Y/S} \to \Omega^1_{X/S}$ es un isomorfismo. ¿Qué podemos decir acerca de $f$? Es $f$ formalmente étale? Por supuesto, podemos suponer que la $S$ es afín.

Antecedentes: se sabe que $\alpha$ es un isomorfismo al $f$ es formalmente étale (EGA IV, 17.2.4). Uno puede mostrar que $\alpha$ es un epimorphism si y sólo si $f$ es formalmente unramified (EGA IV, 17.2.2), y $\alpha$ es un monomorphism si $f$ es suave (EGA IV, 17.2.3). Así que mi pregunta es si a la inversa también se mantiene.

Answer 1

Según la petición del Sr. Brandeburgo:

Esto viene de Etus Cohomology de Lei Fu (es la proposición 2.5.3)

Teorema: Deja que$S$ sea un esquema,$X$ y$Y$ dos$S$ - esquemas y$f:X\to Y$ Presentación finita. Si$S$ es etale, entonces el mapa canónico$f$ es un isomorfismo. El inverso se mantiene si$f^\ast\Omega_{Y/S}\to\Omega_{X/S}$ y$X$ son suaves sobre$Y$.