Resuelve el sistema: $$\begin{cases}a+b+c=6\\ab+ac+bc=11\\abc=6\end{cases}$$ La solución es: $a=1,b=2,c=3$
¿Cómo puedo solucionarlo?
Respuestas
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Sin las fórmulas de Vieta, el polinomio se puede derivar por eliminación. A partir de la primera y última ecuación:
$$ b+c=6-a \\ bc = 6 / a $$
Sustituyendo lo anterior en la ecuación del medio:
$$ 11=a(b+c)+bc=a(6-a)+6/a \;\;\iff\;\; a^3-6 a^2+11a - 6 = 0 $$
Por inspección, esta última ecuación tiene $a=1$ como raíz, y luego factorizar $a-1$ da:
$$a^3-6 a^2+11a - 6=(a-1)(a^2-5a+6)=(a-1)(a-2)(a-3)$$
Como el sistema original es simétrico en $a,b,c$ se deduce que las soluciones son $\{1,2,3\}$ .
Paolo Leonetti
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2966
Utilizando Las fórmulas de Vieta el sistema equivale a decir que $a,b,c$ son las raíces de $x^3-6x^2+11x-6$ que se factoriza como $(x-1)(x-2)(x-3)$ . Por lo tanto, $\{a,b,c\}=\{1,2,3\}$ .
Shabaz
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403
Para el trabajo en clase es probable que las raíces sean enteras, así que yo sólo las probaría. No hay muchas factorizaciones de $6$ y $1,2,3$ debería saltar. Entonces, pruébalo y ya está.
El enfoque rutinario es la sustitución. Escriba la primera como $a=6-b-c$ y lo conectas a los otros dos. Resuelve el segundo para $b$ y tienes una ecuación (desordenada) en $c$ . El teorema de la raíz racional funcionará aquí.
treaki
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14
Deberías publicar tus intentos en la pregunta.
Intenta reorganizar algunas cosas para que encajen. $$\begin{cases}a+b+c=6\\ab+ac+bc=11\\abc=6\end{cases}$$
$$a+b+c=6$$ $$a+c=6-b$$
$$ab+ac+bc=11$$ $$b(a+c)+ac=11$$
$$b(a+c)+ac=11=b(6-b)+ac=11$$
$$ac=\frac{6}{b}$$ $$b(6-b)+ac=11=b(6-b)+\frac{6}{b}=11$$
ahora tienes una ecuación que depende sólo de b.
Reordénala para encontrar b. Luego sustituye la respuesta de b en las otras ecuaciones y reordena y sustituye para resolver a o c. Luego sustituye eso con b y puedes encontrar cualquier variable que quede.
Farrukh Ataev
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21
Por método de sustitución: $$\begin{cases} b+c=6-a \\ a(6-a)+\frac{6}{a}=11 \\ bc=\frac{6}{a}\end{cases} \Rightarrow$$ $$a^3-6a^2+11a-6=0 \Rightarrow (a-1)(a-2)(a-3)=0 \Rightarrow a=1; 2; 3.$$ Sustituyendo esto y resolviendo $$\begin{cases} b+c=6-a \\ bc=\frac{6}{a}\end{cases}$$ se encontrarán seis soluciones: $$(a,b,c)=(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1).$$
