Cómo mostrar que $\lim_{n\to\infty}[a_1,\cdots,a_n]$ si $a_k\geq 2$ todos los $k$?

Question

Considere la posibilidad de una secuencia de números reales positivos $(a_n)$. Definir $[a_1]=\frac{1}{a_1}$ y de forma recursiva inductivamente $[a_1,\cdots,a_n]=\frac{1}{a_1+[a_2,\cdots,a_n]}$. Supongamos $a_k\geq 2$ todos los $k$. Cómo mostrar que $\lim_{n\to\infty}[a_1,\cdots,a_n]$ existe?

Yo estaba tratando de mostrar que la sucesión es monótona, lo cual no es cierto. Un especial relacionados con el caso se hace aquí, que no es muy útil disponer de una generalización.

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[Añadido para responder a la confusión en los comentarios.] La definición anterior debe ser entendido correctamente de la siguiente manera. Para cualquier número real positivo $a$, definir $[a]:=\frac{1}{a}$. Ahora bien, dado cualquier dos números reales positivos $a_1,a_2$, se puede definir $[a_1,a_2]:=\frac{1}{1+[a_2]}$. Así se puede seguir adelante en esta manera de definir $[a_1,a_2,\cdots,a_n]$. Para escribir un par de términos explícitamente, $$ [a_1,a_2]=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}},\ [a_1,a_2,a_3]=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}},\ [a_1,a_2,a_3,a_4]=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4}}}},\cdots $$

Answer 1

Sólo se necesita $a_i \ge 1$.

Definir $$\begin{bmatrix} p_{-1} & p_{0} \\ q_{-1} & q_{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ De forma recursiva, conjunto $$p_k = a_kp_{k-1} + p_{k - 2}, q_k = a_kq_{k-1} + q_{k - 2} \tag{1} $$ para $k \ge 1$. Vamos a mostrar que

$$ [a_1,\dots,a_n,a_{n+1}] = \frac{a_{n+1}p_n + p_{n - 1}}{a_{n+1}q_n + q_{n - 1}}. $$

Esto es por inducción:

\begin{align} [a_1,\dots,a_n,a_{n+1}] &= \left[ a_1,\dots,a_n + \frac{1}{a_{n+1}} \right] \\ &= \frac{\left(a_n + \frac{1}{a_{n+1}} \right)p_{n-1}+p_{n-2}}{\left(a_n + \frac{1}{a_{n+1}} \right)p_{n-1}+p_{n-2}} \\ &= \frac{(a_np_{n-1}+p_{n-2)} + \frac{1}{a_{n+1}}p_{n - 1}}{(a_nq_{n-1}+q_{n-2}) + \frac{1}{a_{n+1}}q_{n - 1}} \\ &= \frac{a_{n+1}p_n + p_{n - 1}}{a_{n+1}q_n + q_{n - 1}} \end{align} y en el caso base es fácil de verificar.

De este modo obtenemos la ecuación de matriz $$ \begin{bmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n - 1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n+1} & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{n+1} & p_{n} \\ q_{n+1} & q_{n} \end{bmatrix} $$ y por inducción $$ \begin{bmatrix} p_{n+1} & p_{n} \\ q_{n+1} & q_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n+1} & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n} & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdots \begin{bmatrix} a_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$ tomando determinantes hemos $$ p_{n+1}q_n - p_nq_{n+1} = (-1)^{n}. $$ Por lo tanto $$ \left\lvert \frac{p_{n+1}}{q_{n + 1}} - \frac{p_n}{q_n} \right\rvert = \frac{|p_{n+1}q_n - p_nq_{n+1}|}{q_{n+1}q_n} = \frac{1}{q_{n+1}q_n}. $$

De $(1)$ y la suposición de que $a_k \ge 1$ tenemos $q_n \ge n$. Así, la secuencia $p_n/q_n$ es de Cauchy y converge a algún límite.

Referencia

Automática de Secuencias de J-P. Allouche y J. Shallit, Cambridge University Press (2003), páginas 44-46.

Answer 2

En Khinchin del libro "Fracciones continuas" está demostrado que $$ \lim_{n\to\infty} [a_0;,a_1, \ldots, a_n] $$ existe si y sólo si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty$ donde $(a_n)_n$ es una secuencia de números positivos (Teorema 10). Así se resuelve el problema, ya que la secuencia de números positivos tiene un uniforme inferior positivo obligado.