Deje $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ ser infinitamente diferenciable en a $x_0 \in (a,b)$, y deje $P_n$ ser su polinomio de taylor de orden $n$$x_0$. Fijar un punto de $x \in (a,b)$, y supongamos que $\lim_{n \to \infty }P_{2n}(x)=f(x)$.
Es cierto que $\lim_{n \to \infty }P_n(x)=f(x)$?
De manera más general, es cierto que si $P_{2n}(x)$ converge (no necesariamente a$f(x)$), a continuación, $P_n(x)$ también converge?
Esta conclusión no es válida.
Considere la posibilidad de $(a,b) = (-2,2), \, x_0 = 0,\, x = 1$. Existe una $C^\infty$-función de $f$ tal que $f(0) = f(1) = 0$$f^{(k)}(0) = (-1)^kk!$$k > 0$. A continuación, $P_n(x) = \sum_{j=1}^n(-x)^j$ y, por tanto, $P_{2n}(1) = 0 = f(1)$ todos los $n$. Pero $P_n(1)$ no converge.
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