Grados de libertad en la distancia Euclídea grupo: reflexiones?

Question

Me disculpo si esto es más bien una cuestión básica - yo soy relativamente nuevo en el grupo de teoría y geometría/topología etc. Estaba leyendo acerca de la distancia Euclídea Grupo, que la Wikipedia define como...

el grupo de simetría de la n-dimensional en el espacio Euclidiano. Sus elementos, las isometrías asociados con la métrica Euclidiana, se llama Euclidiana movimientos.

De lo que soy consciente, isometrías incluyen translaciones, rotaciones y reflexiones. Sin embargo más adelante en el artículo de Wiki que habla acerca de la dimensionalidad y grados de libertad:

Dimensionalidad

El número de grados de libertad de E(n) es n(n + 1)/2, lo cual da 3 en el caso n = 2, y 6 para n = 3. De estos, n puede ser atribuido a la disposición de simetría traslacional, y el resto de n(n − 1)/2 para simetría rotacional.

Yo estaba confundido en cuanto a por qué reflexiones no factor de aquí, aunque intuitivamente yo no veo cómo una reflexión podría ser de un grado de libertad. No sólo parece ser algo diferente acerca de reflexiones en comparación con traslaciones y rotaciones, aunque no estoy seguro de lo que (no muy matemático, lo sé)

Después de leer acerca de la Clasificación de plano Euclidiano isometrías en el intercambio de la Pila, una de las respuestas se describe cómo se podría describir cualquier isometría por una traslación, rotación y reflexión al considerar tres puntos: el uso de una traducción al mapa un punto en su imagen, una rotación para asignar el segundo punto a su imagen, y por último una reflexión para que coincida con la tercera. A partir de esto puedo ver cómo una vez que la traslación y la rotación se utiliza para que coincida con dos puntos, la reflexión que se usa para la tercera está determinado por el isomatry - no hay más libertad en la elección de la reflexión, si has usado una de traslación y rotación para especificar la asignación de dos de los puntos. Para una isometría, el paso final es fijo.

Este tipo de sentido para mí, aunque no estoy seguro de si es el mejor camino, o incluso de una manera correcta, de pensar acerca de esto.

También, la respuesta también declaró que

Un no-cero de la traducción y un no-cero rotación juntos son simplemente una rotación alrededor de algún otro centro. Una rotación seguida de una reflexión, es un reflejo de algunas de línea diferentes. (MvG)

Así que parece que todas las combinaciones de traslaciones y rotaciones puede ser descrito por una sola reflexión? Así que reflexiones 'ocultar' todos los grados de libertad? Creo que esto está relacionado con el punto final, pero tengo que admitir que no entiendo muy bien. Tal vez algunos de mis confusión con respecto a las transformaciones de los grados de libertad y es que me encuentro virando hacia el pensamiento de la distancia Euclídea grupo compuesto de transformaciones en contraposición a isometrías, y parece que estos no son los mismos (en este enlace, se pregunta sobre isometrías ser un subgrupo del grupo de reflexión)

Answer 1

La frase "grados de libertad" se refiere al número de independientes real número de valores de los parámetros (como lo hace el más formal término "dimensión").

Así, por ejemplo, cada orientación y la preservación de isometría de $n$-dimensional espacio Euclidiano $E^n$ es una composición $T \circ O$ de una única transformación ortogonal $O$, seguido por una única traducción de $T$, y estos dos factores son independientes el uno del otro. Las traducciones están parametrizados por vectores que tienen $n$ grados de libertad, y las rotaciones de $E^n$ están parametrizados por ortogonal $n \times n$ matrices que han $\frac{(n-1)n}{2}$ grados de libertad. Ya que los grados de libertad de las traducciones y de las rotaciones son independientes el uno del otro, juntos han $n + \frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$ grados de libertad.

Ahora vamos a llevar en las reflexiones. Permítanme usar $R_n$ para denotar la reflexión en el plano de coordenadas $x_n=0$. Una orientación general revertir la isometría se puede expresar de forma única en la forma $T \circ O \circ R_n$ donde$T,O$, de manera independiente, elegido de traducción y transformación ortogonal. De ello se desprende que en general una isometría puede ser escrito de una manera única en la forma $T \circ O \circ (R_n)^e$ donde podemos elegir de forma independiente tres cosas: la traducción de $T$ $n$ grados de libertad; la rotación ortogonal $O$ $\frac{(n-1)n}{2}$ grados de libertad; y el exponente $e \in \{0,1\}$.

La elección de la exponente $e$ es discreta --- o $0$ o $1$ --- y esto no representan un "grado de libertad" porque no es un número real con valores de parámetro.

Por el camino, lo que hace que los cálculos en mi respuesta que funcione correctamente es el hecho de que la descomposición $T \circ O \circ (R_n)^e$ es determinada únicamente por la isometría. En su pregunta, donde se utiliza el hecho de que cada isometría puede ser escrito como una composición de reflexiones, que es el de la composición no es único, y por lo que se utiliza para contar los grados de libertad puede conducir a errores.

Sólo como un ejemplo, escoger cualquier número $n \ge 2$, cada traducción de la línea puede ser escrito como un producto de $n$ reflexiones. Desde una reflexión de la línea de ha $1$ grados de libertad (es decir, el punto de reflexión), esto parece ser una prueba de que las traducciones de la línea tienen la dimensión de $n$. Desde $n$ es arbitrario, hay un error en este argumento... que voy a dejar de meditar.

Answer 2

El grupo de Euclídea mociones contiene la orientación de la preservación y la orientación de la inversión de las mociones. A la hora de calcular el "número de grados de libertad".k.una. la dimensión de este grupo, uno puede ignorar la orientación de la inversión, debido a que forman otro componente conectado de la misma dimensión. Por lo tanto, la dimensión del grupo de Euclídea movimientos de $\mathbb R^n$ es la suma de la dimensión de las traducciones es decir $n$, además de la dimensión de la especial ortogonal grupo $SO(n)$. Por ejemplo, para $n=3$ obtener $3+3=6$ grados de libertad.

Answer 3

El grupo de isometría de un espacio Euclídeo $E$ de la dimensión de $n$ es el semidirect producto $$ Isom(E)=T(n)\rtimes O(n), $$ donde $T(n)$ es el abelian subgrupo de traducciones, $O(n)$ es el ortogonal del grupo, que es, en efecto generado por la reflexión, por un Teorema de Cartan. Es un lineal Mentira grupo de dimensión $\dim T(n)+\dim O(n)=n+(n-1)/2=n(n+1)/2$.