Grados de libertad en el grupo euclidiano: ¿reflexiones?

Question

Pido disculpas si esta es una pregunta bastante básica; soy relativamente nuevo en teoría de grupos y geometría/topología, etc. Estaba leyendo sobre el Grupo Euclidiano, que la Wikipedia define como...

el grupo de simetría del espacio euclidiano de n dimensiones. Sus elementos, las isometrías asociadas con la métrica euclidiana, se llaman movimientos euclidianos.

Según lo que sé, las isometrías incluyen traslaciones, rotaciones y reflexiones. Sin embargo, más adelante en el artículo de Wikipedia habla sobre dimensionalidad y grados de libertad:

Dimensionalidad

El número de grados de libertad para E(n) es n(n + 1)/2, lo que da 3 en el caso de n = 2, y 6 para n = 3. De estos, n se puede atribuir a la simetría de traslación disponible, y los restantes n(n - 1)/2 a la simetría rotacional.

Estaba confundido por qué las reflexiones no se consideran aquí, aunque intuitivamente tampoco vi cómo una reflexión podría ser un grado de libertad. Parece que hay algo diferente en las reflexiones en comparación con las traslaciones y rotaciones, aunque no estoy seguro de qué (no muy matemático, lo sé)

Después de leer sobre Clasificación de isometrías del plano euclidiano en Stack exchange, una de las respuestas describía cómo se podría describir cualquier isometría mediante una traslación, rotación y reflexión considerando tres puntos: usar una traslación para mapear un punto a su imagen, una rotación para mapear el segundo punto a su imagen, y finalmente una reflexión para hacer coincidir el tercero. De esto puedo ver cómo una vez que la traslación y rotación se utilizan para hacer coincidir dos puntos, la reflexión utilizada para el tercero está completamente determinada por la isometría; no hay más libertad en la elección de la reflexión, si se han utilizado una traslación y rotación para especificar la relación de dos de los puntos. Para una isometría, el paso final está fijo.

De alguna manera tiene sentido para mí, aunque no estoy seguro si es la mejor manera, o incluso la forma correcta, de pensar en esto.

Además, la respuesta también afirmaba que

Una traslación distinta de cero y una rotación distinta de cero juntas son simplemente una rotación alrededor de otro centro. Una rotación seguida de una reflexión es una reflexión en alguna línea diferente. (MvG)

Entonces parece que todas las combinaciones de traslaciones y rotaciones pueden ser descritas por una sola reflexión. ¿Así que las reflexiones 'ocultan' todos los grados de libertad? Creo que esto está relacionado con el punto final, pero admito que no lo entiendo completamente. Quizás parte de mi confusión con respecto a las transformaciones y los grados de libertad es que tiendo a pensar en el grupo euclidiano como consistente de transformaciones en lugar de isometrías, y parece que estos no son lo mismo (en este enlace, se pregunta sobre si las isometrías son un subgrupo del grupo de reflexiones)

Answer 1

La frase "grados de libertad" se refiere al número de parámetros independientes con valores reales (como hace el término más formal "dimensión").

Entonces, por ejemplo, cada isometría de preservación de orientación del espacio euclidiano $n$-dimensional $E^n$ es una composición $T \circ O$ de una única transformación ortogonal $O$ seguida de una única traslación $T$, y estos dos factores son independientes entre sí. Las traslaciones están parametrizadas por vectores que tienen $n$ grados de libertad, y las rotaciones de $E^n$ están parametrizadas por matrices ortogonales de $n \times n$ que tienen $\frac{(n-1)n}{2}$ grados de libertad. Dado que los grados de libertad de las traslaciones y de las rotaciones son independientes entre sí, en conjunto tienen $n + \frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$ grados de libertad.

Ahora vamos a incluir las reflexiones. Usaré $R_n$ para denotar la reflexión en el plano de coordenadas $x_n=0$. Una isometría general de reversión de orientación se puede expresar de forma única en la forma $T \circ O \circ R_n$ donde $T,O$ son una traslación y una transformación ortogonal elegidas independientemente. De ello se deduce que una isometría general se puede escribir de forma única en la forma $T \circ O \circ (R_n)^e$ donde elegimos tres cosas de forma independiente: la traslación $T$ con $n$ grados de libertad; la rotación ortogonal $O$ con $\frac{(n-1)n}{2}$ grados de libertad; y el exponente $e \in \{0,1\}$.

La elección del exponente $e$ es discreta --- ya sea $0$ o $1 --- y esto no representa un "grado de libertad" porque no es un parámetro con valores reales.

Por cierto, lo que hace que los cálculos en mi respuesta funcionen correctamente es el hecho de que la descomposición $T \circ O \circ (R_n)^e$ está unívocamente determinada por la isometría. En tu pregunta, donde usas el hecho de que cada isometría se puede escribir como una composición de reflexiones, esa composición no es única, y por lo tanto usarla para contar los grados de libertad puede llevar a errores.

Solo como ejemplo, eligiendo cualquier número par $n \ge 2$, toda traslación de la recta se puede escribir como un producto de $n$ reflexiones. Dado que una reflexión de la recta tiene $1$ grado de libertad (es decir, el punto de reflexión), parecería ser una prueba de que las traslaciones de la recta tienen dimensión $n$. Dado que $n$ es arbitrario, hay un error en este argumento... el cual te dejo que reflexiones por tu cuenta.

Answer 2

El grupo de movimientos euclídeos contiene movimientos que conservan la orientación y movimientos que invierten la orientación. Al calcular el "número de grados de libertad" también conocido como dimensión de este grupo, uno puede ignorar aquellos que invierten la orientación porque forman otro componente conectado de la misma dimensión. Por lo tanto, la dimensión del grupo de movimientos euclídeos de $\mathbb R^n$ es la suma de la dimensión de las traslaciones, es decir $n$, más la dimensión del grupo ortogonal especial $SO(n)$. Por ejemplo, para $n=3$ obtienes $3+3=6$ grados de libertad.

Answer 3

El grupo de isometría de un espacio euclidiano $E$ de dimensión $n$ es el producto semidirecto $$ Isom(E)=T(n)\rtimes O(n), $$ donde $T(n)$ es el subgrupo abeliano de traslaciones y $O(n)$ es el grupo ortogonal, que está generado por reflexiones, según un teorema de Cartan. Es un grupo de Lie lineal de dimensión $\dim T(n)+\dim O(n)=n+(n-1)/2=n(n+1)/2$.