Racional de los valores de las funciones trigonométricas

Question

Estoy utilizando ampliamente las funciones trigonométricas cuando un ángulo dado en grados.
Algunas de estas funciones seno o coseno tienen racional de los valores, por ejemplo, el bien conocido ejemplo es el $\cos(\theta) =0.6 $$\sin(\theta) =0.8 $.

Sin embargo, además del caso de la multiplicidad de $90^\circ$ parece que no hay números racionales $\theta$ simultáneamente racional de los valores de seno y coseno.

• Es posible que de alguna manera demostrar que racional, de los valores de un ángulo dado en grados no hay valores simultáneamente racionales de seno y coseno funciones, junto a caso evidente de multiplicidades de $90^\circ$?

Answer 1

Niven del Teorema: Si $x/\pi$ (en radianes) y $\sin x$ son racionales, entonces la condición sine toma valores $0$, $\pm 1/2$, y $\pm 1$.

Obviamente, el ángulo en radianes es un racional múltiples de $\pi$ fib ángulo en grados es racional.

Answer 2

Veamos el teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ y dividir ambos lados por $c^2$ conseguir $\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1$. Ahora, podemos usar la bien conocida relación entre el seno y el coseno: $\sin^2(x) + \cos^2 (x) = 1$, y deje $\sin(x) = \frac{a^2}{c^2}$, e $\cos(x) = \frac{b^2}{c^2}$.

Desde la hipotenusa de un triángulo es siempre más larga que las dos piernas, $\frac{a^2}{c^2}, \frac{b^2}{c^2} < 1$. Por lo tanto, existe un bijection entre un triplete de $a,b,c$$\frac{a^2}{c^2}, \frac{b^2}{c^2}$, y al menos un valor de $\frac{a^2}{c^2}, \frac{b^2}{c^2}$$\sin(x)$.

Un ejemplo de uso de una $3,4,5$ triángulo muestra que $\cos(x) = \frac{9}{25}$, y usando la segunda ecuación de $\sin(x) = \frac{16}{25}$. Como un bono, ya que hay infinidad de ternas Pitagóricas, esto muestra que hay infinitamente muchos de los valores de $\sin(x)$ $\cos(x)$ que son racionales.