Prueba de problemas matemáticos del concurso

Question

Este es el problema 23.2.8.4 de 66 OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE MOSCÚ (autor: N. Konstantinov).

"Un caracol se arrastra a lo largo de una línea recta, siempre hacia adelante, a una velocidad variable. Varios observadores en sucesión siguen sus movimientos durante $6$ minutos. Cada persona comienza a observar antes de que el observador precedente termine la observación y observa el caracol durante exactamente un minuto. Cada observador notó que durante su minuto de observación el caracol se ha arrastrado exactamente $1$ metro. Demuestra que durante $6$ minutos en los que el caracol podría haberse arrastrado como mucho $10$ metros."

También he encontrado una solución que dice lo siguiente:

"Mostraremos que si hay $n ≥ 10$ gente mirando, entonces el caracol puede arrastrarse como mucho $n$ metros. Ciertamente, el caracol no puede arrastrarse más allá de esto, ya que cada persona observa al caracol arrastrarse exactamente un metro. Para demostrar que el caracol puede de hecho arrastrarse $n$ metros, supongamos que todos $n$ la gente ve al caracol permanecer inmóvil durante la primera $(n − 10)/(n − 1)$ horas. Después de eso, las personas se turnan para ver al caracol arrastrarse un metro en $9/(n−1)$ horas. Entonces cada persona ha observado al caracol durante $(n − 10)/(n − 1) + 9/(n − 1) = 1$ hora y el caracol se ha arrastrado por un total de $(n − 10)/(n − 1) + 9n/(n − 1) = 10$ horas, durante las cuales viaja $n$ metros."

¿Alguien puede ayudarme a entender la solución? En primer lugar, la solución menciona horas, supongo que el tipo quiere decir "minutos", pero ignoremos esto. ¿Qué tiene que ver con la gente que está mirando? ¿Qué tiene que ver $(n − 10)/(n − 1)$ ? ...y todo lo demás, ¡por supuesto!

Answer 1

También he encontrado una solución que dice lo siguiente:

"... Para mostrar que el caracol puede de hecho arrastrarse $n$ metros, supongamos que todos $n$ la gente ve al caracol permanecer inmóvil durante la primera $(n − 10)/(n − 1)$ horas. Después de eso, las personas se turnan para ver al caracol arrastrarse un metro en $9/(n−1)$ horas..."

Esto no suena como una solución al problema anunciado. Esos $n$ los observadores descritos en la solución citada no están observando para una continuo minuto cada uno, sino más bien por dos intervalos de tiempo de $(n-10)/(n-1)$ y $9/(n-1)\,$ respectivamente, que suman un minuto, de hecho, pero no son contiguos. El problema declarado, sin embargo, implica que cada minuto de observación es continuo.

---

Pista para el problema tal y como está publicado: digamos que el primer observador comienza a observar a $t_1 = 0$ y termina en $t_1+1$ . En la condición establecida, al menos uno, y posiblemente más de un observador comenzará a observar no más tarde de $t_1+1\,$ . Deje que $t_2$ es el momento en el que comienza el último de esos observadores. Entonces deja que $t_3$ ser el último momento en el que un tercer observador comienza a observar no más tarde de $t_2+1$ . Debe ser que $t_3 \gt t_1+1$ de lo contrario, el tercer observador habría sido elegido en lugar del segundo. Defina $t_4, \cdots t_{n}$ de manera similar, donde $n$ es el número de observadores "esenciales" después de dejar de lado los despidos. Entonces:

$$ t_1 \lt t_2 \le t_1+1 \lt t_3 \le t_2+1 \lt t_4 \le t_3+1 \lt \cdots \\ \cdots \lt t_{n-1} \le t_{n-2}+1 \lt t_n = 5 \le t_{n-1} + 1 \lt t_n+1=6 $$

Por construcción, no $3$ de la $n$ intervalos $[t_1,t_1+1], [t_2, t_2+1], \cdots , [t_{n}, t_{n}+1]$ tienen un punto en común. Ya que todos ellos son de longitud unitaria y están dentro $[0,6]$ se deduce que $n \lt 2 \cdot 6 = 12\,$ $\, \iff n \le 11\,$ .

El caso $n=11$ puede eliminarse observando que requeriría la $6$ intervalos de desarticulación $[t_1,t_1+1],[t_3,t_3+1] \cdots , [t_{11},t_{11}+1]$ para encajar en el interior $[0,6]\,$ lo que significa que tendrían que ser todos adyacentes, pero eso contradice la construcción.

Esto deja $n \le 10\,$ por lo tanto la distancia total es como mucho $10$ metros desde $ \le 10$ los observadores contados $1$ cada uno durante los minutos (posiblemente superpuestos) que cubrieron todo el $6$ un minuto de carrera.

La serpiente puede alcanzar el $10$ máximo de metros, si por ejemplo el $10$ Los observadores empiezan cada vez que miran a 0:00, 0:20, 1:10, 1:30, 2:20, 2:40, 3:30, 3:50, 4:40, 5:00 y la serpiente se arrastra $1$ cada vez que sólo uno de los observadores está observando. En la imagen de abajo, las barras grises son los minutos que cada observador observó, mientras la serpiente se arrastraba $1$ durante cada uno de los $10$ cajas de color.

---

[ EDITAR ] En respuesta a la pregunta publicada en un comentario: " ¿Y si también pedimos el mínimo la distancia se arrastró ".

No es una prueba completa, pero creo que una línea de razonamiento similar a la anterior daría el mínimo a $4$ metros, que pueden ser alcanzados por los observadores dispuestos como las barras grises en la imagen de abajo, con la serpiente arrastrándose $1/2$ durante cada uno de los $8$ cajas de color.