Por qué $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iw(t-x)}dw$ es la función delta de Dirac?

Question

Estoy leyendo un libro que dice:

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iw(t-x)}dw\right\}dt$$

y luego dice que el término entre paréntesis puede ser visto como la Función Delta de Dirac.

Como yo lo entiendo, la Delta de Dirac Función debe ser $0$ al$t\neq x$, ¿verdad?

$$\delta(t-x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iw(t-x)}dw$$

¿por qué esta cosa es $0$ al $t\neq x$?

Answer 1

He aquí lo curioso: claramente no es cero. El uso de Euler (y la simplificación mediante el establecimiento $x=0)$, es igual a la $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty (\cos(wt) + i\sin(wt))dw.$$ For $t\ne 0$, tanto en las partes real e imaginaria sólo oscilar y la integral no converge.

Sin embargo, lo que dicen tiene algo de verdad. En primer lugar vamos a aclarar una idea falsa: a pesar de que da una buena imagen intuitiva, la delta de Dirac $\delta(t)$ no es una función que toma el valor de $0$ todas partes, pero en el origen y es infinito en el origen con $\int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = 1.$ No existe una función con estas propiedades, y de hecho la única "propiedad esencial" es el último.

La función delta es realmente no es una función, sino una distribución (también llamado generalizada de la función). Aunque no hay un enfoque más riguroso, se puede pensar en una generalización de la función como un objeto que sólo existe para ser integrados en contra de una función legítima. La delta de Dirac es un objeto que obedece a la propiedad $$ \int_{-\infty}^\infty \delta(t)\phi(t)dt = \phi(0)$$ for any function $\phi$ (en una cierta clase de funciones interesantes).

(De hecho, es más adecuado pensar en la "integración en contra de la función delta", en forma lineal en un espacio vectorial de las funciones que lleva a una función de $\phi(t)$ y escupe $\phi(0).$)

Dicho esto, vemos que en base a la identidad de la primera que te dan, que objeto tiene la propiedad esencial de la función delta. Pero, como hemos señalado, el interior de la integral de la expresión no existe, por lo que la identidad tiene que ser analizado más a fondo.

Podemos cambiar el orden de integración y de reescritura de la identidad como $$ f(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dw \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{iwt}dt.$$ This identity has the merit of being plausible, unlike the first. Provided that the function $f(t)$ is nice and decays, the inner integral will exist (this is the Fourier transform of $f$) and then perhaps the result will be a nice decaying function of $w$ whose integral exists and happens to equal $f(0).$ Esto pasa a ser true (es sólo un caso del teorema acerca de la inversión de la transformada de Fourier transforma), pero la forma de mostrarlo?

Bueno, si estamos siendo irresponsables, nos gustaría cambiar el orden atrás y hacer uso de la función delta de identidad, pero que sería una petición de principio. En su lugar, podemos anticipar nuestro problema y el uso de un factor de convergencia desde el ir así: $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dw \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{iwt}dt = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dw e^{-\frac{1}{2}\epsilon^2w^2}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{iwt} dt \\= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dt f(t) \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}w^2\epsilon^2 + iwt}dw. $$ (We've been a bit sloppy and would need to justify a number of things, like bringing the limit outside the integral, changing of order of integration, and taking care with the distinction between integrals over $\mathbb R^2$ y reiterado 1d integrales, pero digamos que no funciona.)

Ahora nuestro interior la integral converge y lo que es más, es Gaussiano y podemos hacer exactamente. Esto sale a $$ \sqrt{\frac{2\pi}{\epsilon^2}}e^{-\frac{t^2}{2\epsilon^2}}$$ so our expression becomes $$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\epsilon}\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\frac{t^2}{2\epsilon^2}}dt.$$ Then we can substitute in the integral to get $$\lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\epsilon u) e^{-\frac{1}{2}u^2}du$$ and then (pending justification involving niceness conditions on $f$) pass the limit inside the integral to get $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(0) e^{-\frac{1}{2}u^2}du = f(0).$$

Para que un esquema de cómo cambiar el orden de integración "realmente" funciona. Aviso aquí tenemos una verdadera función que sirve como una aproximación a la función delta de: $$\delta_\epsilon(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2} \epsilon^2t^2 +iwt}dw = \frac{1}{\sqrt{2\pi\epsilon^2}}e^{-\frac{t^2}{2\epsilon^2}}$$ which indeed becomes rather spiky around one and zero elsewhere as $\epsilon\a 0$ and always integrates to one for any nonzero value of $\epsilon,$ no matter how small. The expression in your book takes the limit $\epsilon \to 0$ dentro de la integral efectivamente aquí y se llama el resultado de la función delta, a pesar de que es una tontería cuando se toma literalmente. Pero si pones el límite fuera el signo integral y llevarlo al final, todo funciona. Es simplemente más fácil hacer los cálculos de manera descuidada, sabiendo que funciona en la final. (Por desgracia, es también muy confuso si usted no sabe lo que está pasando detrás de las escenas y prestan atención suficiente a los detalles a cuidar.)

Aunque supuse $x=0$ a eliminar el equipaje desde ya feo expresiones, nada de cambios esenciales cuando se agrega de nuevo.

EDITAR

Otros esquemas de regularizar el interior de la integral también de trabajar y producir aproximaciones a la función delta. Por ejemplo, en DisintegratingByParts' (gran nombre!) la respuesta que uso $$\delta_R(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-R}^R e^{iwt}dw = \frac{\sin(Rt)}{\pi t}$$ which may seem a bit more surprising as a delta function approximation as $R\to\infty$ (It doesn't converge to zero for $t\ne 0$). Sin embargo, si usted sigue los mismos pasos que hice para la regularización de la elegí puede ver que funciona. Esto, cuando se hace con cuidado, equivale a una prueba de la transformada de Fourier de la inversión teorema.

Como Hurkyl se indicó en los comentarios de los límites de la aproximados de funciones delta de hacer sentido literal y converge a la función delta en el espacio de las distribuciones (aunque denota la limitación de la distribución por parte de un particular divergentes integral decirse que es el abuso de notación). Este procedimiento de poner el límite de la regularización factor fuera de la integral es, efectivamente, la misma cosa como la toma de la distribución límite.

Answer 2

Supongamos $f$ es absolutamente integrable en $\mathbb{R}$. Y supongamos $f$ tiene la izquierda y a la derecha de los límites de las $x$, así como la izquierda y a la derecha derivados a $x$. A continuación, el clásico de la inversión de la transformada de Fourier teorema da \begin{align} \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}&=\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-R}^{R}e^{ixs}\hat{f}(s)ds \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}e^{ixs}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-isy}dyds \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}e^{is(x-y)}ds\right)dy. \end{align} Ese es el significado preciso de--y el origen de la notación-- $$ `\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x-y)}ds\mbox{"}=\delta(x-y). $$ Si usted interpretar la notación de esta manera, usted no va a salir mal.

Answer 3

Deje $$\phi_N(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-N}^N e^{i \omega x}d\omega = \frac{\sin(Nx)}{2\pi x} = \frac{N}{2\pi}\text{sinc}(Nx)$$

A continuación, para $f \in C^0 \cap L^1,f' \in L^1$ tal que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$, podemos utilizar la integración por partes para obtener $$\int_{-\infty}^\infty f(x) \phi_N(x)dx = \frac{-1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f'(x) \left(\int_{-\infty}^{Nx} \text{sinc}(y)dy\right) dx $$ Y, por lo tanto, con $A = \int_{-\infty}^\infty \text{sinc}(y)dy = 2\pi$ $$\lim_{N \to \infty} \int_{-\infty}^\infty f(x) \phi_N(x)dx = -\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty f'(x) A dx = f(0)$$ Cual es la definición de $\phi_N \to \delta$ en el sentido de las distribuciones

$\scriptstyle \text{(also note how this proves the Fourier inversion theorem)}$