Un recíproco de la proposición del Valor medio el Teorema de

Question

Esto es sólo una pregunta que surgía en mi cabeza mientras va a través de básica de análisis real. El ordinario del Valor medio Teorema (MVT) está dada como sigue.

Deje $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ ser una función que cumplen las siguientes condiciones: $(i)$ $f$ es continua en a $[a,b]$ y $(ii)$ $f$ es diferenciable en a $(a,b)$. A continuación, $\exists c \in (a,b),$ tal que $$f(b)-f(a)=f'(c) \cdot (b-a)$$

Por supuesto, podemos restringir $f$ a cualquier intervalo de $[x,y] \subset [a,b]$ y aplicar el teorema de $f|_{[c,d]}$ a un estado que $\exists z \in (x,y)$ tal que $f(y)-f(x)=f'(z) \cdot (y-x)$

Puedo formular una recíproco de la proposición de la siguiente manera?

Deje $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ ser una función que cumplen las siguientes condiciones: $(i)$ $f$ es continua en a $[a,b]$ y $(ii)$ $f$ es diferenciable en a $(a,b)$. A continuación, $\forall c \in (a,b), \exists x,y \in [a,b]$ tal que $$f(y)-f(x)=f'(c) \cdot (y-x)$$

Es?

Si sí, ¿cómo puedo demostrarlo? (¿Cómo hace uno para encontrar los puntos de $x$$y$, que no tiene por qué ser único, que trabajan para un punto dado, $c?)$ es bajo más débil de la hipótesis sobre la función?

Si no, puede que me proporcione un contraejemplo? Puedo imponer condiciones más fuerte para que funcione?

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

EDIT : Como se ha señalado por @Henrik, que la proposición no mantener con las previsiones actuales. Por otro lado, @MANMAID afirma que se mantiene con la suposición de que $f$ no tiene ningún punto de inflexión. Me parece muy interesante. Necesito una prueba formal, sin embargo.

Answer 1

Yo no lo creo.

Considere la posibilidad de $f(x)=x^3$$[-1,1]$. Es continua y diferenciable, pero para $c=0\in ]-1,1[$, $f'(c)=0$ por lo que el $x$ $y$ desea que tendría que satisfacer $$ y^3-x^3=0 $$ lo que implica $x=y$, pero dado que no se requiere que el $x\neq y$, esto no es técnicamente un contraejemplo.

Answer 2

De hecho, el resultado es casi cierto. A ver, primero $C=\{(x,y); a\leq x<y\leq b\}$. A continuación, $C$ es el interior de un triángulo (con un poco de lado aceptado). Vamos para $(x,y)\in C$, $g(x,y)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$. Entonces claramente $g$ es continuo desde la $C$$\mathbb{R}$. Como $C$ está conectado, $I=g(C)$ está conectado a un subconjunto de a $\mathbb{R}$, por lo tanto, un intervalo. Ahora el valor medio teorema de decir que la imagen $J$ $]a,b[$ $f^{\prime}$ contiene $I$; es bien sabido que un derivado tiene el valor intermedio de la propiedad, por lo $J$ es un intervalo demasiado. Ahora cada una de las $f^{\prime}(x)$ es el límite de $n\to +\infty$$g(x,x+1/n)$; por lo tanto $J\subset \overline{I}$. Como usted puede ver, como $I\subset J \subset \overline{I}$, $I$ y $J$ diferir en más de dos puntos.