El uso de la palabra

Question

Que $V$ ser un espacio del vector y un subconjunto no vacío de $S$ $V$. Si $v\in\operatorname{Span}(S)$, es una combinación lineal de un número 'limitado' de vectores en el subconjunto $S$. ¿Qué significa la palabra finita? Podría haber dicho simplemente la combinación lineal de los vectores de $S$.

Answer 1

Tienes razón que la "combinación lineal" significa una suma finita. El uso de la palabra finito es para énfasis. Por ejemplo no podría contar la combinación lineal "infinita"

$$ \exp(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} $$

que en el lapso de $\{1,x,x^2,\dots\}$ en el % de espacio del vector $C[0,1]$de funciones continuas en $[0, 1]$.

Answer 2

El único problema que podría surgir es Cómo definir una combinación lineal infinita. Después de todo, en el cálculo, se define una suma infinita $$\sum_{n=1}^\infty a_n $ $ el ser límite $$\lim_{k\to \infty}\sum_{n=1}^ka_n.$ $ esto requiere la noción de un límite, que a su vez requiere la noción de una topología, que no necesita tener nuestro espacio $V$ priori. Así, para la introducción álgebra lineal (no asumiendo que el conocimiento de la topología) restringimos nuestra atención a combinaciones lineales finitas.

Answer 3

Vale la pena señalar que no puede haber espacios vectoriales, donde algunos "infinitas combinaciones lineales" tendría un sentido perfecto.

Considere el espacio vectorial $\mathbb{R}^{\omega}$ sin la restricción de finito de apoyo. Esta es una buena perfecta espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ si se define, además de coordinar el sabio, y la multiplicación por escalares de obtener un estándar de espacio vectorial.

En este espacio vectorial si usted tiene cualquier contables conjunto de vectores $v_i$ y escalares $a_i$ que satisfacen la condición de que $\{i|\;j\in \mathrm{supp}(v_i)\}$ es finito para cada una de las $j$,$\sum_0^\infty a_i v_i$, que está bien definida y fácilmente se podría considerar la posibilidad de llamar a esta una combinación lineal.

Esta es otra razón para llamar específicamente a la atención de la finitud de la combinación lineal, aunque en la mayoría de los cursos que se parte de la definición.