He buscado en la literatura y se encontró que la cíclico grupos son completamente clasificados. Si se restringe la atención a los anillos con la torsión libre de aditivos grupos, entonces la respuesta es saber con bastante precisión (todos los ingredientes son conocidos, pero la clasificación de las recetas es incompleta). Puedo incluir un tipo diferente de resultado en la división de los anillos, tal como se utiliza en la torsión gratuita de su caso y es interesante en cualquier caso.
Sospecho que el literal respuestas a todas sus preguntas es que no sabemos.
Cíclico grupos
Pearson–Schneider (1970) clasificar a los grupos cíclicos que se producen como los grupos de las unidades de los anillos. Son exactamente el infinito cíclico grupo y el cíclico finito grupos cuyo orden puede ser escrito como una coprime producto de los números de los siguientes formularios (formularios pueden ser repetidos):
- $q^t-1$, $q$ primer, $t \geq 1$
- $q^s(q-1)$, $q$ y extraño prime, $s \geq 1$;
- $4m+2$, $m \geq 0$
- $4n$, $n$ impar positivo y si un prime $p$ divide $n$,$1 \equiv p \mod 4$.
El papel es:
La división de los anillos
Amitsur (1955) clasifica los subgrupos finitos de la división de los anillos. Tenga en cuenta que el grupo de unidades de un no-conmutativa de la división de anillo es nunca en sí mismo finito, así que esto no es directamente relevante a la pregunta (pero sospecho que es interesante para los lectores).
- Amitsur, S. A.
"Finito subgrupos de la división de los anillos."
Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 80 (1955), 361-386.
MR74393
DOI:10.2307/1992994
Torsión libre de los anillos
Amitsur del trabajo fue generalizada a los anillos cuyo aditivo grupos de torsión libre de Hirsch–Zassenhaus (1966). Aquí los grupos debe ser construido en una manera simple de sólo un par de pequeños grupos: C2, C4, C6, P8, BT24, y DC12. El automorphism grupo de aditivos de grupo es el grupo de unidades del endomorfismo anillo de aditivos de grupo, y, a la inversa de la Esquina ha mostrado que cada contables anillo con una torsión libre de reducción de aditivos de grupo es un endomorfismo anillo de torsión libre de abelian grupo. Por lo tanto los grupos finitos son los mismos.
Rincón, A. L. S.
"Cada contables de reducción de torsión libre de anillo es un endomorfismo anillo".
Proc. Londres Matemáticas. Soc. (s3) 13 (1963) 687-710.
MR153743
DOI:10.1112/plms/s3-13.1.687
Hirsch, K. A.; Zassenhaus, H.
"Finito automorphism grupos de torsión libre de los grupos".
J. Londres Matemáticas. Soc. 41 (1966) 545-549.
MR197549
DOI:10.1112/jlms/s1-41.1.545
