Supongamos que un racional de generación de función se da en representación de la función $f(x) = \sum_{i=0}^{2n}{c_i x^i}$ donde $c_i \in \mathbb{N}$
El objetivo es determinar si el coeficiente de en medio, $c_n$, es distinto de cero o no.
Por ejemplo, podríamos estar determinado $f(x) = \frac{1 - 10x^9 + 9x^{10}}{(x - 1)^2}$, el cual representa el $1 + 2x + 3x^2 + \cdots + 9x^8$. Nos interesa, en este caso, en el medio del coeficiente, que pasa a ser 5.
Formulación Original
El valor real puede ser determinada mediante la evaluación de una integral de contorno. Esto se logra por primera multiplicando $f(x)$$x^{-n}$. Entonces, la reescritura de la variable $x$ $x\cdot e^{i t}$ y por último la evaluación de la integral de la $\int_C{f(x)dt}$. El resultado de todo esto es el coeficiente en cuestión.
El Objetivo
Trato de encontrar formulaciones alternativas a este problema. Permítanme darles algunos ejemplos.
Ejemplo 1 : "Mosaico"
Empezar con la fórmula original $f(x)$. Hacer una copia, por ejemplo,$f(y)$, por la reescritura de $x$$y$. Entonces podemos restar la segunda función de la primera, eliminando el primer coeficiente. Repetimos adiciones y sustracciones (posiblemente infinidad de veces) hasta que todos los coeficientes excepto para la de en medio se han eliminado.
Ejemplo 2 : "La División"
Multiplicamos $f(x)$ a través de una función $g(y)$ donde $g(y) = \frac{1}{1-x^{2n+1}}$, esencialmente por lo que la serie repetir para siempre. Nosotros, a continuación, divida esto por $x^n\cdot g(y)$, y obtener el resto. Este resto es la primera mitad de la serie original, y $c_n$ puede obtenerse fácilmente a partir de este.
Lo que se desea / Motivaciones
Yo simplemente le gusta tener las formulaciones alternativas para la solución. Estoy usando esto por un algoritmo, y me gustaría publicar este con la persona que da una formulación que proporciona un resultado rápido.
