La derivada de una función $f: C \rightarrow C$ con respecto a los $\overline{z}$ se define como %#% $ #% donde $$ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) $ se define como el operador que $\frac{\partial}{\partial x}$ $u+iv$ y $u_x + iv_x$ se define así mismo. Me pregunto si hay una forma geométrica para pensar esta cantidad.
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Chris
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Esta es una reformulación de los aspectos de lo que varias personas arriba han dicho. En particular Weaam del párrafo 3 se muestra cómo probar:
Un $\mathbb R$-función lineal $f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ se puede descomponer de manera única en una suma $f = Cf+Af$ dos $\mathbb R$-funciones lineales $Cf, Af : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ donde $Cf$ es "complejo lineal", es decir, $Cf(av+bw)=aCf(v)+bCf(w)$ para todos los números complejos $a,b$ y vectores $v,w\in \mathbb R^2$. $Af$ es complejo anti-lineal $Af(av+bw)=\overline{a}Af(v)+\overline{b}Af(w)$.
Así que, dado que un arbitrario Frechet ($\mathbb R$-diferenciable) la función $f$ definida en un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$, $\partial f/\partial z$ es el complejo lineales parte de la derivada de $f$. $\partial f/\partial \overline{z}$ es el complejo anti-lineales parte de la derivada de $f$. Esto explica, porqué $f$ es complejo diferenciable si y sólo si $\partial f/\partial \overline{z} = 0$. En la nota del párrafo anterior, $\partial f/\partial \overline{z} = Af'$, e $\partial f/\partial z = Cf'$.
Who
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155
Para llegar intuición geométrica sobre análisis complejo de Tristán Needham del libro "Visual Análisis Complejo" parece ser el mejor lugar que puede convertir a!
Allí, la lectura de la página 216 (y usted puede de manera segura acaba de saltar de allí, si ya han llegado a preguntas como la que usted está pidiendo aquí), usted aprenderá que holomorphic funciones son las que se ven localmente como composiciones de rotaciones, traslaciones y rescalings (me refiero a si realmente dibujar el plano complejo como un avión), es decir, ellos son los que llevan los discos a discos (y me refiero a la real ronda los discos, con la frontera de un círculo :-).
Así, desde la derivación de una función de $f$ con respecto al $\bar{z}$ es cero iff $f$ es holomorphic, se podría decir que mide la distancia de $f$ es de holomorphic o, en vista de la anterior caracterización, cómo mucho un disco se puede obtener deformado (por ejemplo, en un elipsoide) cuando se aplica $f$.
Jonik
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1041
Creo que la hipótesis de que f es totalmente una función derivable es necesario.
Un primer resultado es que, f es holomorphic si y sólo si $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$, y que en caso de $f' = \frac{\partial f}{\partial z}$, yo.e "Holomorphic funciones son independientes de $\overline{z}$ y solo depende de z", por Cauchy-Riemann.
La interpretación de f como una función real de dos variables reales x, y, donde z = x + i y. Por lo tanto $x = \frac{z + \overline{z}}{2}$, e $y = \frac{z - \overline{z}}{2i}$
La minimización de f con respecto a $\overline{z}$ y aplicando la regla de la cadena
$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial x}{\partial \overline{z}}_z\frac{\partial f}{\partial x}_y + \frac{\partial y}{\partial \overline{z}}_z\frac{\partial f}{\partial y}_x$ $= \frac{1}{2} ( \frac{\partial f}{\partial x}_x + i \frac{\partial f}{\partial y}_y)$ y para minimizar sobre todo z = x + iy (ya minimizar w.r.t x (resp. y) es tener la derivada parcial = 0),$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$. ver http://people.ccmr.cornell.edu/~muchomas/P480/Notes/dft/node10.html
Cabe mencionar que tanto en $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$ a lo largo de con $\frac{\partial f}{\partial z}$ son conocidos como Wirtinger derivados(operadores). No estoy seguro de si la intuición geométrica es necesario, pero estos derivados dar la Wirtinger cálculo. Uno construye una teoría (un "símbolo de la herramienta"?!!) eso es análogo para el caso real que se aplica incluso a nonholomorphic funciones (ver "Teoría de las funciones complejas", Remmert, página 67-69 para un desarrollo rápido), o los inicios de "El Complejo de Gradiente de Operador y el CR-Cálculo, ECE275A – Conferencia Suplemento", que es más elemental, pero podría ser útil.
bavajee
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El operador de barra dee zee en el seminario secreto blogs: What´s para arriba con la barra de dee zee
seanyboy
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Esto va junto con la cuestión de cómo interpretar $$ \frac{\partial}{\partial z} \;=\; \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\right) $$ para no holomorphic funciones.
Una posible respuesta es que $\partial f / \partial z$ es el valor promedio de $$ \frac{f(w) - f(z)}{w} {- z} $$ como $w$ toma valores en un pequeño círculo centrado en $z$. Para ser precisos: $$ \frac{\partial f}{\partial z}(z) \;=\; \lim_{r\to 0}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(z+re^{es}) - f(z)}{re^{es}} dt. $$ Del mismo modo, $\partial f / \partial \overline{z}$ es el valor promedio de $$ \frac{f(w) - f(z)}{\overline{w} - \overline{z}} $$ como $w$ toma valores en un pequeño círculo centrado en $z$.
