Pregunta sobre el dirac $\delta$ -función

Question

Tengo una pregunta básica sobre el dirac $\delta$ -función basada en el inicio del capítulo 1 de estas notas .

El dirac $\delta$ -puede definirse heurísticamente como la función que es $0$ en todas partes excepto como $x = 0$ donde se encuentra $\infty$ .

Pero formalmente, esta no es la definición del funcional (ya que no es una función). Esta es mi pregunta:

Desde $\delta$ (x) no está definida para cada $x$ ¿Cómo podemos hablar del producto? $(f(x)-f(0))\delta(x)$ ? El autor dice que esto es idéntico $0$ . ¿Por qué? Si utilizamos la definición heurística de $\delta$ entonces, cuando $x \neq 0$ , $\delta(x) = 0$ por lo que el producto es $0$ y si $x = 0$ , entonces obtenemos $(f(0) - f(0))\cdot \infty$ pero ¿quién puede decir que esto es igual a $0$ ? Si $0 \cdot \infty$ siempre es igual a $0$ entonces, bajo esta definición heurística, deberíamos tener $\int \limits_{\Bbb R} \delta(x) \,dx = \int \limits_{\Bbb R - \{0\}} \delta(x) \,dx + \int \limits_{ \{0\} } \delta(x)\,dx = 0 + 0 \cdot \infty = 0$ pero esta integral es por definición igual a $1$ . Pero aún así, ¿qué pasa si no estamos utilizando la definición heurística?

Answer 1

Ver ESTA RESPUESTA donde proporcioné una cartilla sobre la Delta de Dirac.

La declaración heurística $\delta(x)(f(x)-f(0))=0$ significa que para cada función de prueba $f$ el funcional $D[f(x)-f(0)]=0$ , donde $D[\cdot]$ es el funcional Delta de Dirac.

Escribimos el funcional para $D$ formalmente como

$$D[\cdot]=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)[\cdot]dx \tag 1$$

Pero el lado derecho de $(1)$ no es una integral. Más bien, comparte muchas de las propiedades de las integrales y, por tanto, es una notación útil. Pero sólo es una notación.

Así, para una función de prueba $f(x)$ tenemos

$$D[f(x)]=f(0)$$

y por lo tanto

$$D[f(x)-f(0)]=f(0)-f(0)=0\tag 2$$

Por último, interpretamos $(2)$ formalmente y escribir

$$\delta(x)(f(x)-f(0))=0$$

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Los libros de texto que discuten heurísticamente la Delta de Dirac a menudo dan la curiosa y disparatada definición de $\delta(x)$

$$\delta(x)= \begin{cases} 0,&x\ne 0\\\\ \infty,&x=0 \end{cases} $$

que obviamente no tiene sentido incluso con la condición adicional de que $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=1$ .

Esta descripción "manual" puede hacerse rigurosa definiendo una familia de funciones $\delta_n(x)$ con las propiedades que

$$\lim_{n\to \infty}\delta_n(x)= \begin{cases} 0,&x\ne 0\\\\ \infty,&x=0 \end{cases} $$

y

$$\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x)\,dx=1 \tag 3$$

Uno puede entonces escribir, $\delta(x)\sim \lim_{n\to \infty}\delta_n(x)$ con la interpretación proporcionada por $(3)$ . Algunos ejemplos de estas familias de funciones son la función de impulso

$$\delta_n(x)= \begin{cases} n/2,&-\frac{1}{n}\le x\le \frac{1}{n}\\\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} $$

y la función gaussiana

$$\delta_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2}$$

En esta respuesta aquí En la sección de la página web de la Comisión Europea, he discutido la regularización utilizada en la teoría del potencial para el $\mathscr{R}^3$ Delta de Dirac $\delta(\vec r)$ . Allí, la Delta de Dirac se escribe

$$\begin{align} \delta(\vec r)&\sim \lim_{a\to 0}\delta_{a}(\vec r)\\\\ &=\lim_{a\to 0} \frac{3a^2}{4\pi(r^2+a^2)^{5/2}} \end{align}$$

donde $\lim_{a\to 0}\int_{\mathscr{R}^3}f(\vec r)\,\delta_{a}(\vec r)\,dV=f(0)$ .

Y finalmente en esta respuesta aquí analizo la familia de funciones $\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,\epsilon}}e^{-\tan^2(x)/\epsilon}$ que describe el "tren" de Deltas de Dirac

$$\sum_{\ell =-\infty}^{\infty}\delta(x-\ell \pi)\sim \lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\sqrt{\pi\,\epsilon}}e^{-\tan^2(x)/\epsilon}$$

Answer 2

Decir que $(f(x) - f(0)) \delta(x)$ es idéntico $0$ significa que si integramos $(f(x) - f(0)) \delta(x)$ contra cualquier función de prueba, obtenemos lo mismo que si integramos $0$ contra esa función de prueba. Sea $\varphi$ sea una función de prueba. Entonces \begin{align} & \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\Big( (f(x)-f(0)) \delta(x) \Big) \, dx \\[10pt] = {} & \int_{-\infty}^\infty \Big(\varphi(x)(f(x)-f(0))\Big) \delta (x)\, dx \\[10pt] = {} & \left. \varphi(x)(f(x)-f(0)) \vphantom{\frac 1 1} \,\right|_{x=0} = \varphi(0)(f(0)-f(0)) = \cdots \end{align}

Answer 3

Como atestiguan las otras respuestas, hay muchos puntos de vista útiles sobre "lo que realmente está sucediendo" con la $\delta$ . Además, existe la confusión crónica de si "formal" significa que algo es realmente verdadero/correcto por razones triviales o, más bien, que es una heurística sugestiva que tal vez no puede hacerse legítima pero es útil.

La respuesta más específica que tengo a la pregunta original es simplemente sobre multiplicando (con soporte compacto) distribuciones $u$ por suave funciones $f$ para obtener otro distribución : $f\cdot u$ es la distribución definida por $(f\cdot u)(\varphi)=u(f\cdot \varphi)$ donde $f\cdot \varphi$ es la multiplicación puntual, produciendo otra función de prueba.

Así, en el caso que nos ocupa, para cualquier $f$ desapareciendo en $0$ (por ejemplo, producido por la sustitución de $f$ mediante la función $x\to f(x)-f(0)$ ), tenemos $(f\cdot \delta)(\varphi)=\delta(f\cdot \varphi)=(f\cdot\varphi)(0) = f(0)\cdot u(0)=0$ . Es decir, tales $f\cdot \delta$ es el $0$ distribución , no el número $0$ .

Como señalan algunas respuestas, $\int_{\mathbb R}\delta(x)\cdot 1\;dx$ puede interpretarse como $\langle \delta,1\rangle$ . En lugar de rechazar la expresión integral diciendo que es "sólo formal", por qué no decir que debe interpretarse como la extensión al emparejamiento entre distribuciones y funciones de prueba del emparejamiento de funciones de prueba y funciones de prueba por integración-agresión. Al fin y al cabo, es la extensión por continuidad de ese emparejamiento, utilizando la topología débil-dual sobre las distribuciones.

Hay algunos precedentes para adoptar el punto de vista de que las integrales "sin sentido formal" son de hecho extensiones precisas y significativas por continuidad de los emparejamientos que son integrales literales en subespacios densos. Transformada de Fourier e inversión en $L^2(\mathbb R)$ son ejemplos de ello: la propia integral sólo tiene sentido en $L^1$ pero después de la demostración de Plancherel, extendemos por isometría/continuidad, y seguimos escribiendo la integral, aunque no sea literalmente esa integral.

También existe la posibilidad de pensar en la "multiplicación por" $\delta$ como operador mapear las funciones de prueba a las distribuciones, como se sugiere en algunas otras respuestas. Pero aquí se podría considerar la posibilidad de escribir $\delta\otimes \delta$ cuando se trata de un operador. En efecto, para dos distribuciones $\alpha,\beta$ el operador $\alpha\otimes \beta$ est $(\alpha\otimes\beta)(\varphi)=\beta(\varphi)\cdot \alpha$ . Son operadores de rango uno dados por los núcleos de Schwartz más "pequeños" posibles...

Answer 4

Dirac's $\delta$ es una distribución, no una función propiamente dicha. Formalmente $\langle\delta,f\rangle=f(0)$ . Una elección común para el espacio donde viven estas cosas es el dual de las funciones de Schwartz. En física la manipulación de estas cosas es menos rigurosa en la notación. Ya que para algunos espacios de funciones (como $L^2$ ) todos los funcionales lineales en $\mathbb{R}$ también son funciones ( $\langle f,g\rangle=\int fg$ ) se amplía la noción de función generalizada y se mantiene la notación.

Un tratamiento más riguroso es también definir $\int \delta f=\lim_{\epsilon\rightarrow\infty}\int f \rho_\epsilon$ donde $\rho$ es un $C^\infty$ con soporte compacto alrededor de cero, y $\rho_\epsilon=\rho(r/\epsilon)/\epsilon$

$\delta g$ sería la distribución definida por $\langle\delta g,f\rangle=f(0)g(0)$ Así que si $g(0)=0$ entonces $\delta g$ es siempre cero.

Answer 5

Se puede definir $$ \delta(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} |x| > \epsilon &:& 0\\\\ |x| \le \epsilon &:& \displaystyle \frac{1}{2\epsilon} \end{array} \right. $$

De donde $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) = \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \frac{ 1 }{2\epsilon} dx = 1. $$ y $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) = \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \frac{ f(x) }{2\epsilon} dx = f(0). $$