¿Hay una secuencia nula no $\ell_p$ $p<\infty$?

Question

¿Es $\bigcup_{p<\infty}\ell_p=c_0$?

Por lo menos una inserción obvia: cada secuencia p-adicionable converge a cero.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$ x(n)=\frac{1}{\log(n+1)} $$ Es fácil comprobar que $x\in c_0\setminus \left(\bigcup_{1\leq p<\infty}\ell_p\right)$. De hecho $$ \lim\limits_{n\to \infty} x(n) = \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\log (n+1)}=0 $$ por lo $x\in c_0$. Ahora fija $p\in [1,+\infty)$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n>N$ tenemos $\log^p (n+1)<n$, por lo que $$ \Vert x\Vert_p= \left(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\log^p (n+1)}\right)^{1/p}= \left(\sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{\log^p (n+1)}+ \sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{1}{\log^p (n+1)}\right)^{1/p}> $$ $$ \left(\sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{\log^p (n+1)}+ \sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n}\right)^{1/p}=+\infty $$ la última igualdad se sostiene desde la serie $$ \sum\limits_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n} $$ diverge.

Answer 2

Probar: Si $V$ es un separable espacio de Banach, entonces $V$ no se puede escribir como una Unión contable de subespacios lineales apropiados.

Debido a las inclusiones entre los espacios de $\ell_p$, su unión es, de hecho, igual a una Unión contable.

Answer 3

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n+1)} = 0\text {, pero} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\log(n+1)) ^ p} = \infty\quad\forall p > 0. $$

Answer 4

$\frac{1}{\ln n}$ converge a 0 pero $\sum \frac{1}{\ln^p n} = \infty$ para cualquier $p \geq 1$.