Supongamos que $X$ es distribuido uniformemente sobre $[0,1]$. Ahora elija $X = x$ y deje $Y$ estar distribuidos de manera uniforme sobre $[0,x]$. Es posible para nosotros para calcular el "valor esperado de $X$$Y = y$", es decir, $\mathbb{E}(X|Y = y)$?
Intuitivamente, parece que si $y = 0$, obtenemos ninguna información, y por lo $\mathbb{E}(X|Y = 0) = \mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$, y también que si $y = 1$, debe ser el caso de que $x = 1$, lo $\mathbb{E}(X|Y = 1) = 1$. No sé si este razonamiento es correcto, pero si lo es, entonces, parece sugerir que $\mathbb{E}(X|Y = y)$ debe ser una función monotónica de $y$$[0,1]$, con un incremento de$\dfrac{1}{2}$$1$.
También puedo intentar hacer algunos cálculos con densidades de probabilidad. Desde el planteamiento del problema, tenemos $f_X = 1$$f_{Y|X} = \dfrac{1}{x}$. Ahora, la distribución conjunta es $f_{XY} = f_X f_{Y|X} = \dfrac{1}{x}$, y como una comprobación de validez de podemos comprobar que, efectivamente,$\displaystyle\int_0^1 \int_0^x \dfrac{1}{x} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = 1$.
Ahora me parece que $\displaystyle f_Y = \int_y^1 f_{XY} \,\mathrm{d}y = -\ln(y)$, y así podemos hacer el siguiente cálculo:
$$f_{X|Y} = \frac{f_{Y|X} f_X}{f_Y} = -\frac{1}{x \ln y}.$$
Ahora, yo pensé que iba a ser capaz de realizar el siguiente cálculo para llegar a mi resultado:
$$\mathbb{E}(X|Y = y) = \int_y^1 -\frac{1}{x \ln y} \cdot x \,\mathrm{d}x = \frac{y-1}{\ln y}.$$
Esto es correcto? Si no, ¿dónde he ido mal?
