Deje que. $X \sim \mathcal{U}(0,1)$. Dadas $X = x$, que $Y \sim \mathcal{U}(0,x)$. ¿Cómo puedo calcular el $\mathbb{E}(X|Y = y)$?

Question

Supongamos que $X$ es distribuido uniformemente sobre $[0,1]$. Ahora elija $X = x$ y deje $Y$ estar distribuidos de manera uniforme sobre $[0,x]$. Es posible para nosotros para calcular el "valor esperado de $X$$Y = y$", es decir, $\mathbb{E}(X|Y = y)$?

Intuitivamente, parece que si $y = 0$, obtenemos ninguna información, y por lo $\mathbb{E}(X|Y = 0) = \mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$, y también que si $y = 1$, debe ser el caso de que $x = 1$, lo $\mathbb{E}(X|Y = 1) = 1$. No sé si este razonamiento es correcto, pero si lo es, entonces, parece sugerir que $\mathbb{E}(X|Y = y)$ debe ser una función monotónica de $y$$[0,1]$, con un incremento de$\dfrac{1}{2}$$1$.

También puedo intentar hacer algunos cálculos con densidades de probabilidad. Desde el planteamiento del problema, tenemos $f_X = 1$$f_{Y|X} = \dfrac{1}{x}$. Ahora, la distribución conjunta es $f_{XY} = f_X f_{Y|X} = \dfrac{1}{x}$, y como una comprobación de validez de podemos comprobar que, efectivamente,$\displaystyle\int_0^1 \int_0^x \dfrac{1}{x} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = 1$.

Ahora me parece que $\displaystyle f_Y = \int_y^1 f_{XY} \,\mathrm{d}y = -\ln(y)$, y así podemos hacer el siguiente cálculo:

$$f_{X|Y} = \frac{f_{Y|X} f_X}{f_Y} = -\frac{1}{x \ln y}.$$

Ahora, yo pensé que iba a ser capaz de realizar el siguiente cálculo para llegar a mi resultado:

$$\mathbb{E}(X|Y = y) = \int_y^1 -\frac{1}{x \ln y} \cdot x \,\mathrm{d}x = \frac{y-1}{\ln y}.$$

Esto es correcto? Si no, ¿dónde he ido mal?

Answer 1

Todo es correcto, excepto la intuición, que sólo es parcialmente correcto: $E[X|Y=0]=0$, no $1/2$. De hecho, el menor $Y$ es el más probable $X$ pequeño. Más precisamente, la densidad condicional de $X$ $x$ dado $Y=y$ es proporcional (por Bayes) a la de $Y$ $y$ $X=x$, es decir, que $1/x$. Y puesto que $1/x$ integra al infinito $[0,1]$, que converge la densidad condicional de $X$, $y\to0$, a la función delta en $0$.