Así que recuerdo haber leído una vez que el único elemento de $G=Gal(\overline{\Bbb Q} / \Bbb Q)$ que entendemos es compleja conjugación. Supongamos que arreglar una incrustación de $\overline{\Bbb Q}$ a $\Bbb C$. A continuación, el complejo de conjugación en $\Bbb C$ restringe a una "compleja conjugación", $\sigma \in G$. Claramente $\sigma$ orden $2$, y cualquier conjugado de $\sigma$ también tiene orden de $2$.
Pregunta: ¿Es cierto que cualquier elemento de orden $2$ $G$ es conjugado a $\sigma$?
He pensado acerca de esto por un tiempo, pero mi conocimiento de los elementos de $G$ no es excelente. Para grupos generales, no todos los elementos de orden $2$ son necesariamente conjugado. Por ejemplo, $(12)$ $(12)(34)$ son tanto de orden $2$ pero no conjugada en $S_n$ cualquier $n\geq 4$. No está claro cómo proceder en el caso de $G$.
Mi razón de preguntar es que el elemento $\sigma$ I definido anteriormente sólo debe pensarse como definido hasta conjugacy, desde diferentes incrustación da un nuevo complejo de la conjugación, que es el conjugado de a $\sigma$. Por lo tanto, si todos los elementos de orden $2$ $G$ fueron conjugado entonces creo que yo podría llegar a la conclusión de que en realidad sólo hay un único honesto compleja conjugación.
Pido disculpas si algo de esto no está claro, me encantaría elaborar, si es necesario. También, agradecería cualquier intuición sobre cómo pensar acerca de esto en términos de representaciones de Galois, ya que los que parecen ser la única forma de conseguir una manija en $G$.
