Acabo de leer acerca de este increíble resultado y tengo una pregunta muy breve. ¿He leído que cinco piezas es suficiente para llegar de una esfera a dos esferas: es el proceso subyacente de la misma para llegar de una esfera a una esfera de cualquier tamaño (cinco es suficiente?)? Lo siento si este ha pedido antes, no pude encontrar nada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para empezar, ver aquí.
No sé de un escrito de cuenta donde los detalles se trabajó de forma más precisa, pero la idea básica es la siguiente: Lebesgue exterior medida en $\mathbb R^n$, $\mu^*$, se define para todos los subconjuntos de a $\mathbb R^n$, ya sea medible o no, se extiende la medida de Lebesgue $\mu$, y satisface monotonía: $\mu^*(A)\le\mu^*(B)$$A\subseteq B$, y subadditivity: $\mu^*(\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n)\le\sum_n\mu^*(A_n)$.
Supongamos una esfera de volumen $V$ se divide en $k$ trozos $A_i$. A continuación, $\mu^*(A_i)\le V$ todos los $i$, lo $\sum_i\mu^*(A_i)\le kV$, es decir, no más de una esfera de volumen en la mayoría de las $kV$ (o $k$ esferas del mismo radio que la original) puede ser obtenida si sólo $k$ piezas se utilizan. En el enlace de arriba, Blackadar menciona que, en su estimación, acerca de $10^{30}$ piezas se necesitan para girar una pequeña pelota en uno de el tamaño de el sol.
Barry Cipra señaló en los comentarios de que el exterior de la medida argumento es una exageración para el pea-sol análisis: Si una esfera $S$ tiene el diámetro más grande que la de $kd$ donde $d$ es el diámetro original de la esfera de $s$, a continuación, a lo largo de cualquier diámetro, por lo menos, $k+1$ puntos a una distancia mayor que $d$ unos de otros de modo que, si $S$ se obtiene mediante la división y reorganizar $s$, al menos $k+1$ piezas se necesitan.
Se puede decir que un poco más: Para $n>1$, vamos a $f(n)$ ser el más pequeño $k$ de manera tal que una esfera sólida se puede dividir en $k$ piezas que pueden reordenarse para formar $n$ sólidos esferas del mismo radio que la original. Cada esfera debe utilizar al menos $2$ piezas, por lo $f(n)\ge 2n$, y sabemos que $f(2)=5$. Sería tentador decir que $f(n)\le 2n+1$: Por ejemplo, comience con una esfera dividida en $5$ piezas y reorganización, por lo que hemos piezas $A,B,C,D,E$, $A,B$ formando una esfera y $C,D,E$ otro. (Sería natural esperar que) podemos dividir $E$ en tres piezas, isomorfo a $A,B,E$, y más reorganizar; pero esto es un poco descuidado: Incluso si $E$ es elegido de tamaño continuo, las piezas de $C,D$ debe ser movido en este proceso, y terminan siendo divididos así. Lo mejor que puedo ver en este momento es $f(n)\le 5n-2$$n>2$.
