Medida del conjunto de Cantor, multiplicado por el conjunto de Cantor

Question

Es un hecho bastante famoso que $C+C=[0,2]$, ¿qué $ C \cdot C $?

¿Es medible? Sí

Es claramente medible porque es compacto, siendo una imagen continua del conjunto compacto C × C.

¿Es posible una lista de todos los intervalos de $[0,1]\setminus C\cdot C$?

¿Cuál es su medida de Lebesgue?

Answer 1

Tu pregunta se trata ya de mathoverflow. Ver productos aritméticos de conjuntos de Cantor con información interesante y casi actualizada. La pregunta trata sistemas self-similar en $\mathbb R$ en general. Resultados con respecto a los conjuntos de Cantor son por ejemplo que la Hausdorff dimensión $$\dim_H(C\cdot C) = \min(2 \cdot \dim_H(C),1)=\min\left(2\frac{\ln 2}{\ln 3},1\right) = 1.$$ Another interesting aspect is, that according to the experts there, an answer to the question if $C\cdot C$ tiene positiva medida parece estar fuera del alcance en el tiempo.