Para que $p\in\mathbb{P}$, $x^4+4=p$ tiene solución en $\mathbb{N}$?

Question

Encontrar todos los números primos $p$ para el cual la ecuación de $$x^4+4=p$$ tiene soluciones en el conjunto de los números naturales.

Yo ya tengo mi propia idea en mente, a pesar de que la prueba parece un poco débil para mí en algunos puntos. Pero estoy más interesado en las diferentes aproximaciones a este problema por parte de la comunidad aquí, así que voy a dejar mi idea a un lado (ya que no quiero formar cualquiera de las direcciones a su pensamiento), y ponerlo como una respuesta después de un tiempo.

Gracias.

Answer 1

Mi enfoque sería el aviso de que

$$x^4+4 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$$

y luego mirar a los dos factores ...

Answer 2

Afortunadamente, podemos factorise $x^4+4$ como sigue:

$$x^4 + 4 \equiv (x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$

Si desea $x^4+4$ a ser el primer, a continuación, sus únicos factores pueden ser uno y el mismo. El primer caso: $$x^2-2x+2=1 \iff x^2-2x+1=0 \iff (x-1)^2=0 \iff x=1 \, . $$

Si $x=1$$x^4+4=5$, lo que da $p=5$ como una posibilidad. El segundo caso:

$$x^2+2x+2 = 1 \iff x^2+2x+1=0 \iff (x+1)^2=0 \iff x=-1 \, . $$

Si $x=-1$$x^4+4=5$, que a su vez da $p=5$ como una posibilidad.

De ello se desprende que $p=5$ es la única posible primer pertenecientes al conjunto $\{x^4+4:x \in \mathbb{N}\}.$ de Hecho, $p=5$ es la única posible primer pertenecientes al conjunto $\{x^4+4:x \in \mathbb{Z}\}.$