¿Alguien sabe cómo empezar esta pregunta?
Dejar al azar vectores $x,u,v$ conjunta de la distribución Gaussiana, y $u,v$ ser independiente. Mostrar que $E(x|u,v)=E(x|u)+E(x|v)-E(x)$.
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Did
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Escribir $x=au+bv+w$ para algunos números de $a$$b$, $(u,v,w)$ gaussiano e independiente.
Por lo tanto $y=E(x|u,v)$$y=au+bv+E(w)$. Desde $(u,v)$ es independiente, \begin{align} & E(x|u) = E(y|u) = au+bE(v)+E(w), \\ & E(x|v) = E(y|v) = aE(u)+bv+E(w) \\ & E(x) = E(y) = aE(u)+bE(v)+E(w). \end{align} Este rendimientos \begin{align} E(x|u)+E(x|v) & = au+aE(u)+bv+bE(v)+2E(w) \\ & = y+aE(u)+bE(v)+E(w) \end{align} por lo tanto $$ E(x|u)+E(x|v)=E(x|u,v)+E(x). $$
Michael Hardy
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Cuán lejos se $u$ está por encima del valor esperado $\mu_u$ $u$ $\dfrac{x-\mu_u}{\sigma_u}$ donde $\sigma_u$ es la desviación estándar de $u$.
Cuántas $x$-desviaciones estándar se debe "esperar" $x$ por encima del valor esperado de $x$, dado el valor observado de $u$, es que la expresión anterior se multiplica por la correlación entre el$x$$u$; por lo tanto es $\rho_{x,u}\left(\dfrac{x-\mu_u}{\sigma_u}\right)$. Así $$ E(x\a mediados u) = \mu_x + \sigma_x \rho_{x,u}\left(\dfrac{x-\mu_u}{\sigma_u}\right) $$ donde $\mu_x$ $\sigma_x$ son el valor esperado y la desviación estándar de $x$ respectivamente. Y, por supuesto, un resultado similar se aplica a $v$.
Así $$ \begin{align} & {} \quad E(X\mid u) + E(x\mid c) - E(x) \\ \\ & = \mu_x + \sigma_x \rho_{x,u}\left(\frac{x-\mu_u}{\sigma_u}\right) + \mu_x + \sigma_x \rho_{x,v}\left(\frac{x-\mu_v}{\sigma_v}\right) - \mu_x \\ \\ & = \mu_x + \sigma_x \rho_{x,u}\left(\frac{x-\mu_u}{\sigma_u}\right) + \sigma_x \rho_{x,v}\left(\frac{x-\mu_v}{\sigma_v}\right) \\ \\ \\ & = \mu_x + \frac{\rho_{x,u}\sigma_x\sigma_u}{\sigma_u^2}\left(x-\mu_u\right) + \frac{\rho_{x,v}\sigma_x\sigma_v}{\sigma_u^2}\left(x-\mu_v\right) \\ \\ \\ & = \mu_x + \frac{\operatorname{cov}(x,u)}{\sigma_u^2}\left(x-\mu_u\right) + \frac{\operatorname{cov}(x,v)}{\sigma_u^2}\left(x-\mu_v\right) \end{align} $$
La matriz completa de covarinaces, que es la varianza del vector aleatorio $(x,u,v)^\top$ es $$ \begin{bmatrix} \sigma_x^2, & \rho_{x,u}\sigma_x\sigma_u, & \rho_{x,v}\sigma_x\sigma_v \\ \rho_{x,u}\sigma_x\sigma_u, & \sigma_u^2, & 0 \\ \rho_{x,v}\sigma_x\sigma_v, & 0,& \sigma_v^2 \end{bmatrix}. $$ A través de las fórmulas usuales para la condicional expectativas en una distribución normal multivariante, tenemos $$ E\left(x \mid \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\right) = \mu_x + \begin{bmatrix} \operatorname{cov}(x,u), & \operatorname{cov}(x,v) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_u^2 & 0 \\ 0 & \sigma_v^2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} u-\mu_u \\ v-\mu_v \end{bmatrix}. $$
Debido a que la matriz es diagonal, la inversión es simple: basta con invertir los elementos de la diagonal. Multiplicar las matrices, y se tiene el resultado deseado.
Si $u$ $v$ no había sido independiente, esto habría sido más complicado.
Más tarde edit: veo que me han tratado estas tres cosas como escalares. Si son vectores, y no necesariamente todos el mismo número de componentes escalares, entonces donde escribí $\dfrac{\operatorname{cov}(x,u)}{\sigma_u^2}$, necesitaríamos $\operatorname{cov}(x,u)(\sigma_u^2)^{-1}$ cuando las dos cosas se multiplica son matrices, en ese orden. De lo contrario, es el mismo.
