Quiero decir, si pudiéramos imaginar todos los números reales, entonces podríamos asignar a cada uno un número finito frase (o de un número finito de libro).
Desde el conjunto de la finitos libros contables, a continuación, el conjunto de los números reales sería contables.
Es esto correcto? Es $\mathbb{R}$ (hecha por nuestro pensamiento) más grande que nuestro propio pensamiento?
Por imaginar me refiero a describir.
Yo diría que usted necesita tener cuidado de lo que significa imaginar.
Considere la posibilidad de un arco iris en el que podemos ver todo el espectro visible. Dentro de este espectro podemos ver infinidad de tonos ligeramente diferentes de color. Usted puede ver todos ellos, están allí como una manifestación física, no eres la "imaginación" nada de lo que hablo. Ahora podía sentarse y color en cada página de un libro, uno de cada uno de los colores en el espectro? No, yo No. "Sé" lo que cada uno de ellos parece. Si me dan un color, lo que puedo decir "bueno, por supuesto que uno de ellos, de hecho se puede ver alrededor de esta región del espectro". Sin embargo, hay simplemente demasiadas, infinitamente muchos colores, para mí dibujar a mí.
Los números reales son esencialmente los mismos. Los conocemos, podemos describirlos y tenemos una intuitiva e incluso física idea de cómo se ven, pero, por desgracia, no podemos escribir todo porque hay demasiados. Para mí, sin embargo, que es diferente de decir que no me los imagino.
No sólo hay más números reales que podemos describir, hay más números naturales que podemos describir.
Nuestra capacidad para describir tantos, mientras que prácticamente ilimitado, son bastante limitadas. Nos están limitados por el tiempo, por el espacio, por el léxico de nuestro idioma. Estamos obligados por la mortalidad. De ello se sigue, si es así, que el número más grande que puede ni siquiera empezar a describir, es muy pequeño (es decir, casi todos los otros números son más grandes).
Tomando esto para algo más formal, si por "describir" te refieres a definir de alguna manera el uso de un primer orden de la fórmula en un idioma incluyendo la adición, multiplicación, funciones elementales, la integración, los predicados de "grupos conocidos" (por ejemplo, los números enteros, y así sucesivamente), el familiar constantes (por ejemplo,$\pi$, $e$), y todas esas cosas que ya sabes... aún se podría describir muy pocos números, es decir, un contable número de ellos. Ya que hay una cantidad no numerable de números reales, nos han demostrado que casi todos los números reales no pueden ser descritos.
Pero incluso entonces, hay advertencias acerca de lo que queremos decir con la palabra "definir". Hay modelos de la teoría de conjuntos en la que cada elemento es definible sin parámetros. Incluyendo cada número real. Hay cosas sutiles a la mente aquí, y si usted está interesado, entonces le sugiero que lea (al menos el bien escrita introducción) el siguiente documento:
J. D. Hamkins, D. Linetsky, y J. Reitz, "Pointwise definibles modelos de la teoría de conjuntos," Diario de la Lógica Simbólica, vol. 78, de la iss. 1, pp 139-156 de 2013.
Y el arXiv versión se puede encontrar aquí también.
Tenga en cuenta, sin embargo, que la comprensión de la lógica para abordar esta cuestión en serio. Usted debe tener una buena comprensión de las cosas básicas como la diferencia entre la teoría y la meta-teoría.
Ya que usted menciona que "imaginar" un número nos permitirá asignar a cada número de un objeto a partir de una contables conjunto, me parece que tu pregunta es solo una velada forma de pedirle si nos puede hacer una lista de todos los reales (es decir, la construcción de un bijection de los reales a un contable set). Lo cual, por supuesto, que no podemos hacer.
Y si por "imaginar" un número que significa "tener un concepto de/pensando en que determinado número", entonces ciertamente no podemos imaginar todos los reales. En este sentido, ni siquiera podemos "imaginar" todos los números de un infinito contables conjunto, ya que nunca podría "pensar" cada número en particular, porque siempre habrá un número en el conjunto no hemos pensado todavía. Pero esto no es realmente un riguroso concepto matemático como countability/uncountability.
El problema aquí es con la idea de imaginar: sí, podemos imaginar cualquier número real. Podemos imaginar cualquier $x \in \mathbb{R}$. Sin embargo, no podemos imaginar cualquier intervalo cerrado, que es un subconjunto de los reales: podemos imaginar la abstracción, pero ciertamente no puede imaginar cada número individual en ese intervalo, debido a que el número de reales en que intervalo es uncountably infinito.
Del mismo modo, la idea de asignar un número finito de "reservar" para cada secuencia de reales, o a un subconjunto de a $\mathbb{R}$ es en sí misma errónea, precisamente porque hay tantos reales: es una de las propiedades de los números reales que entre cada dos reales, sin embargo, hay otra real. Podríamos llenar el universo entero con libros listado de los números reales entre $0$$0.1$, y todavía no se hace.
A mí los números reales y los racionales son muy similares a las analógicas y digitales. Usted puede tratar de bajar el volumen a $5.5$ $10$ por volumen máximo a $20$. Pero el hecho del asunto es, como mucho, como intentar afinar la escala, usted nunca será capaz de llegar a el punto de la escala analógica.
Otro ejemplo sería como el principio de incertidumbre en la física. El momento de intentar escribir $\sqrt{2}$ en forma decimal, usted pierde su esencia, por así decirlo. (Por tanto, no tanto como el principio de incertidumbre. :P)
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