La función de Green del problema de valor límite

Question

Cuál es la función de Green del problema de valor límite $$ \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d x^2}-\frac{1}{x}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=1,\quad y(0)=y(1)=0, $$

este problema de límites no es auto adjunto, así que por favor ayúdame a resolverlo.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la solución del problema homogéneo es $y(x) = a + b x^2.$

Deseamos resolver $$\begin{equation*} \frac{d^2}{dx^2}G(x,t) - \frac{1}{x} \frac{d}{dx} G(x,t) = \delta(x-t),\tag{1} \end{equation*}$$ donde $G$ satisface las condiciones de contorno $G(0,t) = G(1,t) = 0$ . Por lo tanto, $$G(x,t) = \begin{cases} a(t)x^2, & x<t \\ b(t)(1-x^2), & x>t. \end{cases}$$

Integrando (1) de $t-\epsilon$ a $t+\epsilon$ encontramos la condición de salto
$$\left.\frac{d}{dx}G(x,t)\right|_{x=t+\epsilon} - \left.\frac{d}{dx}G(x,t)\right|_{x=t-\epsilon} = 1.$$ Integrando una vez más encontramos la condición de continuidad
$$\left.G(x,t)\right|_{x=t+\epsilon} - \left.G(x,t)\right|_{x=t-\epsilon} = 0.$$ Estas dos condiciones determinan $a(t)$ y $b(t)$ . Después de un poco de trabajo uno encuentra $$G(x,t) = \begin{cases} \displaystyle\frac{(t^2-1)x^2}{2t}, & x<t \\ \displaystyle\frac{(x^2-1)t}{2}, & x>t. \end{cases}$$ Por último, podemos utilizar $G$ para resolver el problema no homogéneo, $$y(x) = \int_0^1 dt\, G(x,t) = \frac{1}{2}x^2\log x.$$ Esta es la solución encontrada por @Marvis.

Aunque se utiliza a menudo, no recuerdo haber visto nunca que el método anterior recibiera un nombre propio. Yo lo llamo método de salto. Hay al menos otros dos enfoques comunes para obtener las funciones de Green. Uno implica una expansión de la función propia y el otro la solución fundamental.

Answer 2

Denota $y'(x) = v(x)$ tenemos que $$v'(x) - \dfrac{v(x)}{x} = 1$$ Dejemos que $v(x) = x g(x)$ . Entonces obtenemos que $$xg'(x) + g(x) - g(x) = 1\implies g'(x) = \dfrac1x$$ Por lo tanto, tenemos $$g(x) = \log(x) + c_1 \implies v(x) = x \log(x) + c_1 x$$ Por lo tanto, ahora tenemos que resolver para $$y'(x) = x \log(x) + c_1 x$$ $$y(x) = \int x \log (x) + c_2 x^2 + c_3 = \dfrac{x^2}4 \left(2 \log(x) - 1 \right) + k_1 x^2 + k_2$$ $$y(0) = 0 \implies k_2 = 0$$ $$y(1) = -\dfrac14 + k_1 = 0 \implies k_1 = \dfrac14$$ Por lo tanto, $$y(x) = \dfrac{x^2 \log(x)}2$$