Hay un papel en JSTOR, El continuum de azar árbol, que yo, por David Aldous, que es similar a su pregunta. Que es el primero de una serie de tres partes de papeles. Sin embargo, no parece Aldous' árbol (árbol o conjunto) puede ser el mismo que el de su árbol. Su árbol tendría infinito de valencia en todas partes, debido a que la serie armónica diverge.
Para ampliar un poco más sobre esta alternativa de respuesta que fue estudiado por David Aldous: Supongamos que en lugar de que el proceso que Ian sugerido, tomar una muestra aleatoria de árbol de expansión del grafo completo en $n$ vértices. O más bien, de tomar el conjunto de árboles de expansión del grafo completo, y, a continuación, intente un límite de los conjuntos como $n \to \infty$. Usted puede obtener un buen conjunto en el que el límite mirando, para cada una de las $k$ a $k$-barrio (en el árbol) de un vértice marcado y, a continuación, envío de $k$ hasta el infinito después de $n$ es enviado a infinito. A continuación, obtener una bien definida por el conjunto de los infinitos árboles de raíces, que es hopefuless la misma que la de Aldous estudios. Creo que es un modelo válido de lo que a veces es llamado "el" azar árbol.
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que la raíz es una hoja? Usando la fórmula que allí se $n^{n-2}$ etiquetado de los árboles en $n$ vértices, se puede calcular que el es $1/e$. Si puedo configurar el árbol adecuadamente, entonces significaría que $1/e$ de los vértices son las hojas, casi seguramente.
"El" azar árbol en este sentido es estadísticamente igual en todas partes, a cada tamaño finito de barrio. Sin embargo, creo que no puede ser el mismo árbol hasta el infinito cada vez, debido a que contiene una cantidad infinita de datos para distinguir las muestras. Por ejemplo, el espaciado entre las hojas es una cantidad infinita de datos. Yo no soy experto suficiente para llegar a este rigor, pero creo que una "traducción invariantes" proceso aleatorio que realmente le da el mismo árbol cada vez que tendría que darle un taladro de árbol con el mismo valor en todas partes. (Esto es lo que me refería con mi broma que sería ladrando al árbol equivocado.) Por otro lado, si se hacen una "traducción invariantes" conjunto de árboles, entonces podría ser "el árbol" en el sentido de que puede recuperar todos los locales de estadísticas de todo el conjunto sólo por un promedio de más de un ejemplo típico.
Un análogo que entiendo bastante mejor es el mosaico de Penrose. Es "el" mosaico de Penrose en el sentido de que cualquier ordenamiento en teselas de Penrose tiene el local estadísticas de todos los mosaicos de Penrose. Por otro lado, hay una cantidad no numerable de diferentes mosaicos de Penrose. (En un sentido natural, los mosaicos de Penrose formar una ergodic de la familia; provienen de una foliación de una $A_4$-en forma de toro por planos paralelos.)
